几类奇异积分算子性质与的应用

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1、，‘h．．．，J，l●●1学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河：：lkj『ili范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在——年解密后适用本授权书)论文作者(签名)：杨谨吻矽f9年6只6El指导教师(签名)：剜。年／月6日锄≤Il●·，’·析就是单复分析；当n=2时，Clifford分析就是四元数分析．因此Clifford分析是一个活跃的

2、数学分支，它在许多数学领域内都具有重要的理论和应用价值．在经典的函数理论分析中，研究Cauchy型积分的性质是非常重要的，它是解决各类边值问题的基本工具之一．Cauchy型积分是一类奇异积分，它在偏微分方程理论，奇异积分方程理论以及广义函数理论中有着广泛的应用．尤其是在偏微分方程和奇异积分方程的边值问题中，应用Cauchy型积分这个工具可以使得偏微分方程和奇异积分方程的处理显得特别地简练．Cauchy型积分算子的换序问题在奇异积分算子的正则化和奇异积分算子的合成中起着至关重要的作用．有TCauchy型积分算子的换序公式，我们就可以解

3、决闭光滑流形上具有B．M核的奇异积分方程的各种边值问题．因此Cauchy型积分算子的换序问题是解决许多问题的核心．在单复分析及多复分析中，Cauchy型积分算子的性质和换序问题解决得很彻底并且广泛地应用于弹性力学，流体力学以及高维奇异积分和积分方程中．但是在Clifford分析中，由于Clifford代数的不可交换性，有着同样重要件的Cauchy型积分算子的性质和换序问题却没有得到彻底解决．这给Cauchy型积分算子的合成和iEN化带来了很大的挑战，从而影响了Clifford分析中积分方程和偏微分方程边值问题的发展．1998年，黄沙

4、证明了Clifford分析qbCauchy型积分的P—B(Poincar6．Bertrand)置换公式，得到了很好的结论．在黄沙工作的基础上，本文另辟蹊径，给出了Clifford分析中累次奇异积分算子在Cauchy主值意义下更具体的一种新定义．然后利用Cauc．hy型奇异积分算子的性质证明了几个比较简单的情况下的两个奇异积分算子的换中文摘要序公式．接下来又证明了一个关于被积表达式的不等式，即Cli侬'rd分析中的函数和微元乘积的不等式．这个不等式在本文中有着重要的意义．最后再利用此不等式和前面的结果证明了Clifford分析中关于一

5、元函数及二元函数的Cauchy型奇异积分算子的P—B(Poincard．Bertrand)置换公式．另外，本文还研究了一类Rn空问中的高阶奇异Teodorescu算子．通过这类高阶奇异算子，我们可以得到非齐次Dirac方程的解的积分表达式，从而可以解决许多边值问题．本文着重研究了这类高阶奇异Teodorescu算子的有界性，H61der连续性以及它的广。义微商．同时还研究了它关于积分区域的边界曲面摄动的稳定性并给出了误差估计．最后用这个算子给出Rn空间中的一个广义风方程组的解的积分表达式．全文共包括八个部分：1．绪论．介绍了Clif

6、ford分析的历史背景，意义和研究现状，同时简单地介绍了一下我们的工作．2．第一章．讨论了Cli肋rd分析中一个Cauchy型奇异积分算子和普通积分算子的换序问题．首先证明了cli肋rd分析中两个普通积分算子在Liapunov[出面上的换序公式。然后在此基础上证明-j'Cauchy型奇异积分算子和普通积分算子的换序公式．证明过程中先证明两个累次积分在Cauchy主值意义下是收敛的，然后将两个累次积分分别分成两部分Ⅳl，Ⅳ2和吖，嵋，先证明N1=吖，再证明{1恐N2一liraN：=0．A---}0。3．第二章．研究了Cli仟ord分析

7、中两个Cauchy型奇异积分算子的换序问题．先将两个累次积分分别分解为几个Cauchy型奇异积分算子与一个函数的和，从而证明了这两个累次积分是有意义的．然后再分别将两个累次积分分为四个部分，第一部分是挖掉奇点后的区域上的积分，另外几部分是带有奇点的区域上的积分．首先证明第一部分的值相等，再证明剩下的部分的差的极限为零．4．第三章．研究了Cli仃0rd分析中一个普通积分算子和以普通积分算子的积分变量为奇点的Cauchy型奇异积分算子的换序问题．首先证明了几个相关的奇异积分算子的性质，并利用这些性质证明了两个累次积分是有意义的．然后巧妙

8、地将秋分区域分为几部分，从而将积分算子分成带有奇性的部分和不带奇性的部分．我们证明了带有奇性的部分的极限是零，并且4i带奇性的部分相等．这样我们就证明了普通积分算子和以普通积分算子的积分变量为奇点的Cauchy型奇异积分算子的换序公式