几类相依随机变量强极限定理

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1、文中部分缩写及符号说明随机变量’几乎必然互相独立且同分布随机变量序列{％)几乎必然收敛于随机变量x随机变量序列{％】-依概率收敛于随机变量x随机变量序列{％)依分布收敛于随机变量x测度序列{踟)弱收敛于测度肛u与V等价，即u与V有相同的有限维分布集合A的示性函数集合A中元素的个数实数集整数集非负整数集正整数集limsupan／bn<∞limon／bn=0n_00表示不大于a的整数仅表示一个正常数，其值在上下文中可以不同表示一个标准Wiener过程圣(z)：(27r)-l／2厂。exp(一t2／2)drlogz=In(xVe1loglogX=InIn(zVe81aAb=min(a，b)，

2、aVb=max(a，b)z+=max(x，o)，z一=max(一X，0)IX眦一从～柏一一西删陋Rz矿N一一～c一喇吣～～啊．m％锄[以口Xp序言概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科．它在自然科学、技术科学、管理科学中都有着广泛的应用，因此从上个世纪三十年代以来，发展甚为迅速，而且不断有新的分支学科涌出．概率极限理论就是其主要分支之一，也是概率统计学科中极为重要的理论基础．前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义．”关于独立随机变量的经典的概率极限理论在上

3、世纪30年代和40年代已获得完善的发展．其基本结果被总结在Gnedenko和Kolmogorov的专著《相互独立随机变量和的极限分布》(1954)及Petrov的专著《独立随机变量和的极限定理》(1975)中．随机变量的相依性概念不仅早已在概率论和数理统计的某些分支中被提了出来(如在马氏链、随机场理论和时间序列分析中)，而且也出现于许多实际问题中．虽然独立性假设在某些时候是合理的，但要验证一个样本的独立性却是很困难的，而在某些实际问题中，样本并非是独立的观察值．由此可见，研究非独立的随机变量序列有着十分深刻的理论和实际意义．关于混合相依变量的经典的极限理论被系统地讨论于陆和林的专著《混

4、合相依变量的极限理论》(1997)中．负(正)象限相依(NQD，PQD)的定义由Lehmann(1966)引入．正相伴(PA)的定义由Esary，Proschan和Walkup(1967)引入，负相伴(NA)的定义首先由Alam和Saxena(1981)引入．线性负(正)象限相依(LNQD，LPQD)的定义由Newman(1984)引入．本文就是对这些相依随机变量的强极限性质进行了深入的研究．本文第一章主要讨论了相依随机变量的H毛jek-R6nyi-Chow不等式和Berry—Esseen不等式．众所周知，Kolmogorov不等式是证明强大数律非常有用的工具．1955年，Hgjek和

5、R6nyi推广了Kolmogorov不等式，得到了一个更有意思的不等式，并且利用此不等式给出了强大数律的一个简洁证明．Chow在1960年把H吞jek和R6nyi的结论推广到下鞅得到了一个被称之为Hgjek—R6nyi-Chow的不等式：假设{碥，厶，n≥l，是非负下鞅，记0≤％≤cn一1≤⋯≤Cl是常数，则有n一1≤E一¨渊∑(ci--c／+1)EM+cnEKJ{嬲圪≥E”凡一1≤￡一1{钸E碥+∑(龟一r4+1)EK)VE>0．t=1在第二节中我们主要讨论了一类比正相伴更广的被称之为Demi-鞅的随机变量的儿H毛jek-R4nyi-Chow不等式，同时也获得了正相伴随机场上的HAj

6、ek．R宅nyi不等式．第三、四、五节主要讨论了几类相依随机变量的Berry-Esseen不等式．Berry-Esseel3．不等式用来表示随机变量序列{矗，仡≥1)前礼项的正则化和的分布函数R(z)与标准正态分布函数圣(z)之差趋予零的速度，由Berry(1941)和Esseen(1945)最早开始讨论：设<％，n≥1)是一零均值的独立同分布的随机变量序列，Ex}=0-2>0，EIXll3

7、Berry—Esseen不等式，在第五节中我们获得了负相伴随机场的Berry—Esseen不等式．1969年，Philipp曾经指出“对于任何随机变量，如果有Borel-Cantelli引理，一个合适的中心极限定理的收敛速度和一个最大值概率不等式，则重对数律成立．”于(1986)和邵和苏(1999)遵循这个规则分别得到了正相伴和负相伴随机变量的重对数律．众所周知，Levy型最大值不等式或者最大值指数不等式是证明重对数律的关键，那么对于没有此类不