差分方程模型应用1

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1、第七章差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。7.1个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列:表7.1中国人民银行贷款利率表贷款期限半年一年三年五年五年以上利率﹪6.126.396.667.207.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人

2、住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。表7.2上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限一年二年三年四年五年利率﹪6.126.2556.3906.5256.660表7.3上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元）贷款期限一年二年三年四年五年月还款一次还清本息总和10612.0444.3610664.54305.9911015.63237.2611388.71196.4111784.71一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人

3、民银行公布的存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。设贷款后第个月时欠款余额为元，月还款元,则由变化到,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为,从而得到或者

4、(7.1)初时条件(7.2)这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率平均。即=0.06255/12=0.00512125(7.3)若是已知的,则由(7.1)式可以求出中的每一项,我们称(7.1)式为一阶差分方程。模型解法与讨论（1）月还款额二年期的贷款在24个月时还清,即=0(7.4)为求的值,设，=1,2,…（7.5)易见于是导出的表达式(7.6)由(7.5)式与(7.6)式得=[]=[[]从而得到差分方程(7.1)的解为(7.7)将的值和=24代入得到=444.36(元),与表7.3中的数据完全一致,这样我们就了解了还款额的确定方法。

5、当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表7.2商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表7.1中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12﹪是一年期,而在表7.1中是上一档半年期,6.66﹪是五年期而在表7.1中是上一档三年期。其次再考察表7.2商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。依据这两个结论,请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。(2)还款周期我们看到个人住房贷款是采用

6、逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采用逐年归还的方法,情况又如何呢？仍然以二年期贷款为例,显然,只要对(7.7)式中的利率代之以年利率=0.06255,那么由=2,=0,=10000,则可以求出年还款额应为=5473.87(元)这样本息和总额为2=10947.73(元)远远超出逐月还款的本息总额。考虑到人们的收入一般都以月薪方式获得,因此逐月归还对于贷款者来说是比较合适的。读者还可以讨论缩短贷款周期对于贷款本息总额的影响。（3）平衡点回到差分方程(7.1),若令,可解出(7.8)称之为差分方程的平衡点或称之为不动点。显然,当

7、初值时,将恒有。在住房贷款的例子里,平衡点意味着如果贷款月利率和月还款额是固定的,则当初贷款额稍大于或小于时,从方程(7.1)的解的表达式(7.7)中容易看出，欠款额随着的增加越来越远离,这种情况下的平衡点称为不稳定的,对一般的差分方程,=0,1,2，…(7.9)称满足方程的点为（7.9）的平衡点。若（7.9）的解(7.10)则称为稳定的平衡点,否则称为不稳定的平衡点。判别平衡点是否稳定的一个方法是考察导数:（1）当<1时,是稳定的;（2）当>1时,是不稳定的。在金融乃至经济等其他领域中,还有许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达。下面再介

8、绍几个典型例子。7.2养老保险养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。