2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学（文）试题

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1、2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.若，则（）A．B．C．D．3.“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧

2、板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．5.已知命题且，命题．下列命题为真命题的是（）A．B．C.D．6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（）A．万盒B．万盒C.万盒D．万盒7.将函数的图像向右移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C.D．8.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（

3、）A．B．C.D．9.函数的图像大致为（）A．B．C.D．10.设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．11.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C.D．12.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量，，且，则实数．14.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的．15.已知点的坐标为，点满足，则的最小值为．16.如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比．

4、三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知为数列的前项和，且满足．（1）证明为等比数列；（2）设数列的前项和为，求．18.已知函数．（1）求函数的最大值和最小值；（2）为的内角平分线，已知，求角的大小．19.南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），

5、组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.20.如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，．（Ⅰ）求的长度；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．21.已知椭圆与直线都经过点．直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为等腰三角形．22.已知，（Ⅰ）若有两个零点，求实数的范围；（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若的两个极值

6、点为，求证：．试卷答案一、选择题1-5:CABDB6-10:CBBDD11、12：BD二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解:（Ⅰ）当时，时原式转化为：，即，所以，所以为首项为4，公比为2的等比数列.，所以.（Ⅱ）由（1）知：=．18.解：在上单增，上单减，；（2）中，中，，∵，，，，中，，中，，，∴．19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，则，解得，故受奖励分数线为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，利用

7、分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．20.解：（Ⅰ）取中点，连，是等边三角形，,又平面，平面，,∴（Ⅱ）平面，平面∴平面⊥平面．作交于，则平面，交于，直线与平面所成的角．由题意得,又，，．21.解：（Ⅰ）椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线为：联立:，得，于是．设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需证，，．所以为等腰三角形．22．解：方法一：（Ⅰ），有两个零点，有两个零点，，时在上单调，最多有一个零点，不合题意；在上单增

8、，在上单减，，又时，，必有两个零点，．（Ⅱ）有两个改变符号的零点，设，则，时，恒成立，在上单调，最多有一个零点，不合题意；，由得：，在上单增，在上单减，，即．又，在各有一个零点，．（Ⅲ）由（Ⅱ），结合，知，