2020版专题一：求函数值域十六法 .docx

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1、求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识1．定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2．函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y

2、的不等式，解不等式即可获解。⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数yf(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y，y对应的自变量x一定为方程yf(x)在定义域中的一个解，即方程yf(x)0000在定义域内有解；另一方面，若y取某值y，方程yf(x)在定义域内有解x，则y一定为x对应的000函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程yf(x)在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。⑷．可以用函数的单调性求值域。⑸．

3、其他。3．函数值域的求法（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数yx1x1,x≥1的值域。2,2例2：求函数yx6x10的值域。1,例3：求函数yx1的值域。解：∵x0，∴x11，∴函数yx1的值域为[1,)。（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)2af(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法。2例1：求函数yx4x2（x[1,1]）的值域。2解：yx24x2(x2)6，∵x[1,1]，∴x2[3,1]

4、，∴1(x2)92∴3(x22)65，∴3y5∴函数2yx4x2（x[1,1]）的值域为[3,5]。（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x2的值域。解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2的最大值为4，最小值为0。x∴函数的值域是［0,2］例2：求函数y2，x2,21的值域。,44例3：求函数y22x5x736的值域。,8（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数

5、的值域。x12例1：求函数y的值域。x12解：由yx12解得2x1y，x121yx1y∵20，∴1y0，∴1y1x12y∴函数的值域为yx(1,1)。12（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数axby(ccxd0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为yya；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为cadbacyccxd(adbc)，用复合函数法来求值域。例1：求函数y1x2x5的值域。177(2x5)1x解：∵y2212，2

6、x52x522x57∵20，∴y1，2x52∴函数y1x2x5的值域为1{y

7、y}。2（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且a0）的函数常用此法求解。例1：求函数y2x12x的值域。21t解：令t12x（t0），则x，22∴yt125t1(t)24135∵当t，即2x时，8y，无最小值。max4∴函数y2x12x的值域为5(,]。4（7）、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)0；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如y21

8、11axbxc（a、a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。212222axbxc例1：求函数y2xx32xx1的值域。解：由y2xx32xx1变形得(y21)x(y1)xy30，当y1时，此方程无解；当y1时，∵xR，∴2(y1)4(y1)(y3)0，解得111y，又y3111，∴1y3∴函数y2xx32xx1的值域为11{y

9、1y}3（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例1：求函数yx12x的值域。解：∵当x增