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《专题一：求函数值域十六法经典(老师)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、求函数值域方法一、基本知识1．定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2．函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数看作是关于自变量的方程，在值域中任取一个值，对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解，即方程在定义域内有解；另一方面，若取某值，方程在定义域内有解，则一定为对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。特别地，
2、若函数可看成关于的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。⑷．可以用函数的单调性求值域。⑸．其他。3．函数值域的求法（1）、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数的值域。例2：求函数的值域。例3：求函数的值域。解：∵，∴，∴函数的值域为。（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数（）的值域。解：，∵，∴，∴∴，∴∴函数（）的值域为。15（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利
3、用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x2的值域。解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］例2：求函数，的值域。例3：求函数的值域。（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由解得，∵，∴，∴∴函数的值域为。（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果
4、在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例1：求函数的值域。解：∵，∵，∴，∴函数的值域为。15（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。例1：求函数的值域。解：令（），则，∴∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。（7）、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例1：求函数的
5、值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，∵，∴，解得，又，∴∴函数的值域为（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例1：求函数的值域。解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，∴函数在定义域上是增函数。∴，∴函数的值域为。15例2．求函数在区间上的值域。分析与解答：任取，且，则，因为，所以：，当时，，则；当时，，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数的值域。分析与解答：因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，，，，又，
6、所以：，。（9）、基本不等式法利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一,利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取成立的条件.例1求函数的值域.解答:,当且仅当时成立.故函数的值域为.此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例2求函数的值域.解答:此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分子中分解出项来,可以一般的运用待定系数法完成这一工作,办法是设:,(
7、2)15将上面等式的左边展开,有:,故而,.解得,.从而原函数;ⅰ)当时,,,此时,等号成立,当且仅当.ⅱ)当时,,,此时有,等号成立,当且仅当.综上,原函数的值域为:.不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例3.求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：例4.求函数的值域。解：15当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由函数的解析
8、式可以知道
