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《一型不等式恒成立问题求解方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一型不等式恒成立问题求解方法'‘含参数不等式当变量在一定范围内变化时恒成立，求参数的范围”是当今高考的热点和难点•有一种类型的不等式，教师与学生的求解经历了一个复杂的历程.案例已知函数f(x)=
2、x-a
3、+lx(x>0),(I)当a=l时，求f(x)的最小值；(II)欲使f(x)212恒成立，求a的取值范围.这是一个市级模拟考试的试题，对于第(II)题，同学几乎都是这样做的.错解欲使f(x)212恒成立，即
4、x-a
5、212Tx恒成立,a-xN12Tx或a-xWT2+lx在x>0时恒成立a2xT2+lx或aWx+lxT2在x>0时恒成立.而x-lx-12在
6、(0,+°°)上是单调递增的，且值域是R,因此满足a2xTx+12的a不存在.又x+lx-12在(0,1］上是递减的，在［1,+8)上是递增的，因此x=l时x+lx-12取得最小值为32,因此满足aWx+lxT2的a应该是aW32.由于上面两个是“或”的联结关系，因此所求a的范围应该是上两集合的并集，即aW32.如果对这种解法不认真、细致地去研究，很难发现它是错误的•为了给出案例的正确解法，在范老师的指导下，我们进行了深入研究.关于案例错解的原因：命题p："aNxTx+12或aWx+lxT2在x>0时恒成立",并不等价于命题q:“a2xTx+12对x>0
7、恒成立，或aWx+lx-12对x>0恒成立”；即“A或B恒成立”并不等价于"A恒成立或B恒成立”.要说明这样的结论，先看三个结论，其中前两个比较简单，证明简略.结论lu(x)结论2设y=u(x),y=v(x)是区间[m,n]±的连续函数，[m,n]={x
8、u(x)Wv(x)},则当泻(m,n)时，"a2u(x)或aWv(x)恒成立的充要条件是aWR.结论3设y=u(x),y=v(x)是区间[m,n]上的连续函数，[m,n]={x
9、u(x)>v(x)}，则当xW[m,n]时，"a$u(x)或aWv(x)恒成立的充要条件是“a2umax(x)或aWvmin(
10、x)".注意：对于结论3,下文给予证明，但这个证明比较抽象，可以回避不看，只要画图理解一下就可以明白结论3.证明(1)充分性显然成立.(2)必要性：已知：xW[m,n]时，a2u(x)或aWv(x)恒成立.求证：aumax(x)或aWvmin(x).下用反证法证明.假设aumax(x)或a^vmin(x)不成立，因为xW(m,n)时，u(x)>v(x),所以umax(x)>vmin(x).所以vmin(x)①若xU(m,n)时，恒有av(x),则由已知可得a2u(x)在［m,n］上恒成立，所以aumax(x)•这也与vmin(x)综合①、②知，存在xl、
11、x2G［m,n］,且xlHx2,使得u(xl)=v(x2)二a.不妨设xl、x2是所有使u(xl)=v(x2)=a的相邻的两个值(如图1所示)，即区间(xl,x2)上不存在u(x)二a且v(x)二a的解，则xG(xl,x2)时，u(x)>a恒成立.图1(不然的话，存在xOW(xl,x2),使得u(xO)因为函数F(x)=u(x)在区间［xl,x2］上连续，且F(x2)=u(x2)-a=u(x2)-v(x2)>0,F(xO)=u(xO)-aO时恒成立.设u(x)二xTxT2,v(x)二x+lxT2,解u(x)二v(x)得x=2.如图3,当02时，u(x)>
12、v(x),由结论3知，aumax(x)或a^vmax(x),此时umax(x)不存在，umin(x)=2,所以a<2.综上得，aW2.本案例还有其他几种解法，比较复杂，本文不再论述了.
