《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教案

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1、《求函数零点近似解的一种计算方法一一二分法》教案教学目标1.理解变号零点的概念.2.用二分法求函数零点的步骤及原理.3.了解二分法的产牛过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法.4.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.教学重、难点重点：会用二分发求函数零点的近似值.难点：二分法的含义及其简单应用教学过程一函数零点有关概念：1.函数的变号零点：如果函数y=/(x)在区间［a,b］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即/(€/)/(/?)<0,则这个函数在这个区

2、间上至少有一个零点，即存在一点耳玄仏耐,使/(xo)=O.这样的零点叫变号零点.变号零点.概念解读：(1)函数在区间［。,切上的图象连续，又/(g)/(切<0,则函数在［。,切上一定存在零点.反之，若函数/(兀)在［d,切上有零点，却不一定总有(2)函数在区间［°,切上连续且存在零点，则它在区间［/切端点函数值可能异号也可能同号;(1)判断函数/(兀)零点是变号冬点还是不变号冬点，关键在于看曲线通过冬点时函数值是否变号.如图，X。为/(x)的不变号零点，西、乙为/(对的变号零点.二函数变号冬点的性质：对于函数y=

3、/(兀)，如果它的图象是连续不间断的一条曲线，则有：(1)当函数的图象通过零点时(不是二重零点)函数的值变号；(2)在相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.三函数零点的近似解一一二分法：二分法：通过不断地把函数的变号零点所在的区间一分为二，使区I'可的两个端点逐步逼近••••••••••••零点，进而得到零点近似值的一种计算方法.AMB0Q()"o%用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数/(Q定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点兀。的近似值X,使它与零点的误差不超过正数£・第一步：在Q内任取一个闭区问使/(q

4、)与.f(%)异号，即/(&))•/(%)<0•零点位于区间［他0)］中.第二步：取区间［绳厶］的中点兀=丄(兔+仇)，计算/(兀。)和/(绻)，并判断：(1)如果/(x0)=0,则兀0就是/(x)的零点，计算终止；(2)如果y(tzo)-/(xo)0,则零点位于区间［x(),b()］中，令6/)=x(),b=b().第三步：取区间国，勺］的中点西=丄他+也)，计算/(%,)和/(q),并判断：2(1)如果/(%,)

5、=0,则西就是/(对的零点,计算终止(2)如果则零点位于区间［q,旺］中，令a2=a］fb2=x｛；(1)如果/(6/j)•/(%!)>0,则零点位于区间［%!,b｝］中，令a2=x［fb2=br要求的零点的近似值，否则继续重复第二步，直到满足an-hn<2e为止.说明：(1)二分法仅适用于函数变号零点近似值的求解；(2)求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结杲也不相同.精确度为£是指在计算过程中得到某个区间［aH,hn］小于2£,即认为已达到要求的精确度£,可停止计算，否则应继续计算，直到an-bn

6、<2E为止.(3)初始区间的选定要适当不要过大也不要过小，一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.例1求函数/(x)=x3+x2-2x-2的一个正实数零点(精确到0.1).解：由于/(1)=-2<0,/(2)=6>0,确定区间［1,2］作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或屮点的函数值定区间an~bn=1，瓜=2/⑴二-2J⑵=6[1，2]1x0=

7、(l+2)=1.5/(如)=0.625>0[1,1.5]0.5西=丄(1+1.5)=1.25/(^

8、)=-0.984<0[1.25,1.5]0.25兀2=-(1.25+1.5)=1.375/(x2)=-0.260<0[1.375,1.5]0.125冯=丄(1.375+1.5)=1.43752/(x3)=0.162>0[1.375,1.4375]0.0625・・•0.0625<0.1,/.mx3=1.4375=1.4,即函数/(x)=x3+x2-2x-2的一个正实数零点是1.4.课堂小结本节应掌握二分法的方法，利用函数的零点做函数的简图.