函数导数综合问题一

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1、函数导数综合问题(一》【例1】已知函数/(x)=a^—21nx,/z(x)=x2—x+a(I)求函数/(x)的极值；(II)设函数k{x)=f(x)-h(x)f若函数Hx)在［13］上恰有两个不同零点，求实数d的収值范围.【例2】已知函数/(x)=-［zln(x+2)-ln(x-2)］，且/(%)>/(4)恒成立。(1)求f的值；(2)求兀为何值时，/(X)在［3,7］上取最大值；(3)设F(兀)=dln(兀一1)一/(兀),若尸(对是单调递增函数，求a的取值范围。【例3］设函数f(x)=xx-l

2、+m,g(x)=Inx

3、.(1)当加〉1时，求函数y=f(x)在［0,加］上的最大值;(2)记函数p(x)=f(x)-g(x),若函数/?(兀)有零点,求加的取值范围.基础大题自测《一)1、设向量m=(cosx,sinx),xg(0,7r),n=(l,>/3).(1)若

4、m-n=^5,求兀的值；(2)设f(x)=(m+n)-n,求函数/(x)的值域.TT2、已知函数/(x)=Asin(or+0)(A>0,e>0」倂

5、<-)的部分图象如图所示.(I)求函数/(x)的解析式；(7471(II)若/(—)=—，0vq<—,求cosa的值.2533>在

6、△ABC中，角A、B、C所对的边分别为心b、c且cos(A)•cosB+sinB-sin(—+A)=sin(^一2C)・22(1)求角C的大小；⑵若sinA,sinC,sinB成等差数列，且C4・CB=18,求c边的长.函数导数综合问题（一〉参考答案：,2,【例1】解：（I）•••/（兀）=2x——，令f（x）=0,x>0.x=lx(0,1)1(1,+00)/（兀）—0+/M减1增所以/（X）的极小值为1，无极大值.,2■(II)Tk{x)=f(x)-h{x)=-2x+x-ak(x)=1,若k(无)=0,贝=2x当x

7、e[l,2)时，/(x)<0；当xe(2,3]时，/(x)>0.故左（兀）在xg[1,2）±递减,在xe（2,3]-t递增.k(l)>0,:.<£(2)<0,.*.<«>2-21n2,/.2-21n20,6/<3-21n3,所以实数Q的収值范围是（2-21n2,3-21n3].【例2】解：(I)v/(%)=-[t(x+2)-ln(x+2)],l/(x)>/(4)恒成立,2/./（兀）的定义域为2,灯）,且/⑷是f（力的最小值又I=—-]•af⑷=0.解得/=3.2兀+2x-2x-4x2-

8、4*13（II）由上问知广（无）=—[亠-2x+2/.当2vxvM/Xx)v0;当兀〉4H、j,/'(x)>0././(兀)在(2,4)上是减函数,在（4,+-）是增函数。/（兀）在[3,7]上的最大值应在端点处取得。•••/(3)—/(7)=丄[31n5-lnl]--[31n9-ln5]=丄[ln625-In729]<0,222/(3)0恒成立又.^(兀)x-1x2-4(

9、x—1)(*2—4)•显然的G)的定义域(2,+00)上(兀-1)(扌—4)>0恒成立(a-l)x2+5无—4(a+1)>0在(2,+oo)恒成立。下面分情况讨论匕-1庆+5兀-4(。+1)>0在(2,+00)上恒成''/：时,d的解的情况当d-10在(2,+co)上恒成立当a—1=0时,(a—1)/+5x—4(°+1)=5x—8n0在(2,+oo)上恒成立当。-1>00寸,乂有两种情况:①△=52+16(a-l)(Q+l)50；②<2j0L(a—1)•22+5x2—

10、4(a+1)n0.2(6/-1)由①得16ci2+9<0,无解；由②得a>-—.va->0,.*.a>1.4综上所述各种情况，当dh1时,(tz-l)x2+5兀一4幺+1)>0在(2,+00)上恒成立。・•・所求險的取值范围知,+对【例3】解：(1)当xg［0,1］时，f(x)=XI-x)+m=-x2+x+m=-(x-^)2+m+•:当2*时，/(兀)max=加十扌当xg(1,m］时，/(X)=x(x-1)4-m=-x+m=•••函数y=/(尢)在(1"］上单调递增•••/(X)max=f(m)=m2由得宀寺。又Qis呼

11、・••当m>*时，f(x)mxx=nr,当15<〔十产时，/U)max+6分(2)函数/?(兀)有零点即方程/(兀)一g(x)=x

12、兀一l

13、-lnx+加=0有解即m=lnx-xx-

14、有解令h(x)=x—xx—l当xg(0,1]时h(x)=x2-x+lnxV/?,(x)=2x+--l>2V2-