函数和导数综合问题专题复习.doc

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1、函数与导数综合问题的专题复习函数与导数的综合问题是高考中的重点、热点与难点，经过三年的学习与思考，同学们已经具备了一定能力，在基础知识的理解与运用上有了一些经验和知识储备，现将常见的几种常考题型给与总结，以便于大家巩固提高，请大家努力消化，争取更大突破，祝高考成功！一、用导数研究函数的性质、方程的根、图像的交点例一：（2011年高考天津卷）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．解：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、

2、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（Ⅰ）解：当时，所以曲线在点处的切线方程为（Ⅱ）解：，令，解得因为，以下分两种情况讨论：（1）若变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。（2）若，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当时，在（0，1）内单调递减，所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。（2）当时，在内单

3、调递减，在内单调递增，若所以内存在零点。若所以内存在零点。所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。练习1：已知函数（为常数）（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；（2）若与直线相切：（ⅰ）求证：；（ⅱ）设在处取得极值，记点M(,)，N(,)，P(),,若对任意的m(,x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论．练习2．（2011年高考天津理科）已知，函数（的图像连续不断）（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在，使；（Ⅲ）若存在

4、均属于区间的，且，使，证明．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I）解：，令当x变化时，的变化情况如下表：+0-极大值所以，的单调递增区间是的单调递减区间是（II）证明：当由（I）知在（0，2）内单调递增，在内单调递减.令由于在（0，2）内单调递增，故取所以存在即存在（说明：的取法不唯一，只要满足即可）（III）证明：由及（I）的结论知，从而上的最小值为又由，知故从而练习3、.（2012年

5、湖南高考）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.（1）若对一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1,f(x1)）,B(x2,f(x2))(x1

6、意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x)1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.二、导数、函数与不等式用导数的方法研究不等式的关键

7、是通过构造函数，然后研究这个函数的单调性、极值、最值以及通过函数在整个区间上的函数值和极值、最值以及特殊点的函数值的比较解决不等式，证明与n有关的不等式。例三、（2012烟台调研）已知。（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立。例四、（2012年湖北高考文科数学）设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.（1）求a,b的值；（2）求函数f(x)的最大值（3）证明：f(x)<.例五、（湖北省八校联考）已知函数，其中

8、是常数且.（Ⅰ）若时，在区间上单调递增，求的取值范围；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）设是正整数，证明：三、含参恒成立问题例六（2010年高考课标全国卷）（21）本小题满分12分）设函数（Ⅰ）若a=，求的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围。（21）解：（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（Ⅱ）。令，则。若，