数值上机作业

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1、数值实验题一班级：研开发14-1班姓名：马高强学号：20142120904.用有限差分方法（五点差分格式）求解正方形域上的Poisson方程边值问题用MATLAB语言编写求解线性方程组的算法程序，采用下列方法计算，比较计算结果和算法性能，对计算结果给出结论。（1）用SOR迭代法求解线性方程组，用试算法确定最佳松弛因子。（2）用块SOR迭代法求解线性方程组，用试算法确定最佳松弛因子。（3）用（预条件）共轭斜向量法求解线性方程组。解：首先，剖分求解区域。用平行于坐标轴的直线然后用数值微分公式对微分算子进行离散。既有其中

2、表示的近似值。得到在每个点上的有限差分方程为：又称为五点差分格式.其中。在边界上有可得差分格式为：将差分方程组写成矩阵形式为，其中。如果把每一条线上的网格点看作一个组，如对矩阵也相应地分块其中则差分方程等价于。这样就可以用块迭代法进行求解。（1）用SOR迭代法求解线性方程组，用试算法确定最佳松弛因子。SOR迭代法：function[u,k,t]=SOR(n,w)%用SOR迭代法求解Poisson方程%输出结果：u，k，t输入：n，wh=1/(n+1);f(2:n+1,2:n+1)=3*h^2;%定义右端项u=zer

3、os(n+2,n+2);%对边界进行差分fori=1:n+2u(i,1)=(i-1)*h*(1-(i-1)*h);u(i,n+2)=(i-1)*h*(1-(i-1)*h);ende=0.000000001;tic%程序开始的时间%SOR迭代法过程fork=1:10000er=0;fori=2:n+1forj=2:n+1ub=u(i,j);u(i,j)=w*((u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)+f(i,j))/4)+(1-w)*u(i,j);er=er+abs(ub-u(i,j)

4、);endendifer/n^2>[goodw,goodk]=Bestw(9)goodw=1.5330goodk=33>>

5、[u,k,t]=SOR(9,goodw)k=33t=2.3291e-004u的结果如下表：将u画成三维图>>surf(u)（2）用块SOR迭代法求解线性方程组，用试算法确定最佳松弛因子。块SOR迭代法：function[u,k,t]=BSOR(n,w)%用块SOR求解Poisson问题，其中用到追赶法%输出结果：u，k，t输入：n，wh=1/(n+1);f(2:n+1,2:n+1)=3*h^2;u=zeros(n+2,n+2);a=-1*ones(1,n);b=4*ones(1,n);c=-1*ones(1,n);

6、fori=1:n+2%对边界条件进行差分u(i,1)=(i-1)*h*(1-(i-1)*h);u(i,n+2)=(i-1)*h*(1-(i-1)*h);endtic;%块SOR迭代法过程e=0.000000001;fork=1:1000er=0;forj=2:n+1ub=u(:,j);d=f(2:n+1,j)+u(2:n+1,j-1)+u(2:n+1,j+1);x=zg(a,b,c,d');%调用追赶法求解fori=1:nu(i+1,j)=w*x(i)+(1-w)*u(i+1,j);ender=er+norm(ub

7、-u(:,j),1);endifer/n^2

8、x(n)=y(n)/u(n);fork=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-c(k)*x(k+1))/u(k);end试算法确定最佳松弛因子：function[goodw,goodk]=BBestw(n)%确定块SOR的最佳松弛因子[u,k]=BSOR(n,0.01);goodw=0.01;goodk=k;forw=0.01:0.01:2[u,k]=BSO