4.9三角函数的最值

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1、4.9三角函数的最值●知识梳理1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.常转化为y=sin（x+），其中tan=.2.y=asin2x+bsinx+c型.常通过换元法转化为y=at2+bt+c型.3.y=型.（1）转化为型1.（2）转化为直线的斜率求解.4.利用单调性.●点击双基1.（2000年全国）若0＜α＜β＜，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则A.a＜b＜1B.a＞b＞1C.ab＜1D.ab＞1解析：a=sin（α+），b=sin（β+），0＜α+＜β+＜，∴1＜a＜b，ab＞1.答案：D2.函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值是A.B

2、.－C.－1D.解析：f（x）=1－sin2x+sinx=－（sinx－）2+.∴当x=－时，ymin=.答案：D3.函数y=x－sinx在［，π］上的最大值是A.－1B.+1C.－D.π解析：y=x－sinx在［，π］上是增函数，∴x=π时，ymax=π.答案：D4.y=的最大值是_________，最小值是_________.解析一：y==1－.当sinx=－1时，得ymin=－1，当sinx=1时，得ymax=.解析二：原式sinx=（∵y≠1）

3、

4、≤1－1≤y≤.∴ymax=，ymin=－1.答案：－15.y=（0＜x＜π）的最小值是________.解析一：y=ysinx+c

5、osx=2sin（x+）=2sin（x+）=（x∈（0，π））0＜≤1y≥.∴ymin=.解析二：y可视为点A（－sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹x∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A（－，）时，ymin=kAB=.答案：●典例剖析【例1】函数y=acosx+b（a、b为常数），若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值.剖析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论.解：当a＞0时，a=4，b=－3；当a=0时，不合题意；当a＜0时，a=－4，b=－3.当a=4，b=－3时，bsinx+acosx=－3

6、sinx+4cosx=5sin（x+）（tan=－）；当a=－4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin（x+）（tan=）.∴bsinx+acosx的最大值为5.【例2】求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值.剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题.解：y=·sinx+·2sinxcosx=2（cosx+）2+.∵sinx≠0，∴cosx≠±1.∴当cosx=－时，y有最小值，无最大值.评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件.【例3】求函数y=的最大值和最小值.剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界

7、性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）.解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx=2－2y，即sin（x－）=.故≤1，解得≤y≤.∴ymax=，ymin=.解法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1，得k=.∴ymax=，ymin=.评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视.●闯关训

8、练夯实基础1.函数y=log2（1+sinx）+log2（1－sinx），当x∈［－，］时的值域为A.［－1，0］B.（－1，0］C.［0，1）D.［0，1］解析：y=log2（1－sin2x）=log2cos2x.当x=0时，ymax=log21=0；当x=时，ymin=－1.∴值域为［－1，0］.答案：A2.当y=2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是A.B.－C.D.4解析：y=sin（－x）（其中tan=）.y有最大值时，应sin（－x）=1－x=2kπ+－x=2kπ+－.∴tanx=－tan（－x）=－tan（2kπ+－）=－cot=－=－.答案：B3.函数y=的

9、最大值是_______，最小值是_______.解析：∵y===3－，∴当sinx=1时，ymax=3－=；当sinx=－1时，ymin=－4.答案：－44.在△ABC中，a=sin（A+B），b=sinA+sinB，则a与b的大小关系为_______.解析：a=sinAcosB+cosAsinB＜sinA+sinB=b.答案：a＜b5.（2004年湖南，13）已知向量a=（cosθ，sinθ），向量b=（，－1），则

10、2a－b

11、的最大值是__