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1、.同余定理第4讲若余数为，余数为，则的余数等于的余数；的余数等于的余数（）或的余数（）。的余数等于的余数。特别的，当时，是的倍数。若两个整数、被同一个非零自然数除，余数相同，那么称、对于同余，用式子表示为.同余定理是奥数考试中最常考的题型，同时也是数论知识中最具有代表性的知识之一。本讲将带领大家一起领略巧妙的数论方法，相信大家一定会被同余的意想不到的魅力所吸引。编写说明知识要点...【例1】有三个自然数，，，其中除以的余数是，除以的余数是，恰好是的倍数，求的值。【分析】根据同余定理，除以的余数是，而恰好是的倍数，所以。【拓
2、展】已知：，其中、、均为正整数，且除以的余数是，则除以的余数是多少?【分析】是的倍数，所以和除以的余数相同，除以的余数是。【温馨提醒】这边可以帮助学生总结出和（或差）的余数等于余数的和（或差）的余数。【例2】的乘积除以的余数是多少？【分析】，，，，，…，，除以的余数分别为，，，，，，，，…，，，，，，除以的余数是，所以除以的余数是。【温馨提示】这边可以帮助学生总结出积的余数等于余数的积的余数。【拓展】的末两位是多少？【分析】要求末两位，可以转化为求其除以的余数是多少，除以余数是，除以余数是，除以余数为，除以余数是，除以的余
3、数是，依此类推，余数是以，，，循环的，，所以所有余数的和是，除以的余数是，所以和的末两位是。【例3】求：除以的余数。【分析】的余数是，，除以的余数是，所以，，所以，除以的余数是，所以除以的余数是.【拓展】求：除以的余数。【分析】的余数是，所以，，，...所以，除以的余数是。【例1】(第七届中环杯六年级初赛第十三题)下面第一行已经填好十个数,请在他们的下面一行也分别填上,使得每一竖列的两个数相乘的积除以所得的余数都是.【分析】我们知道,除以的余数是,所以除以余的数可以是等等,对照此题,下面的框肯定填,同时确定下面的框,根据乘
4、积可能取的值,我们填出该表格如下:【例2】一个大于的数去除，，时，得余数为，，，则这个自然数是多少？【分析】后两个余数比前一个余数分别多和，所以此数若去除，，时余数相同，，，所以这个自然数是.【拓展】（第六届小机灵杯五年级初赛）由多于人而少于人的学生围成一个圆圈，从某人开始报数.如果报“”和“”的是同一个人时，那么围成的这个圆圈一共有多少人？【分析】由题可知，所有的报数，是以所有学生的个数为周期的一列数.那么与之间相差的是周期的倍数.（人），在～中能整除的只有和，所以围成的这个圆圈一共有或人.【例3】号码分别为，，，的个运
5、动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被除所得的余数，那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？【分析】，，，除以的余数依次为，，，，则好球员与另三人分别进行了，，盘比赛，共盘；号运动员与另三人分别进行了，，盘比赛，共盘；号运动员与另三人分别进行了，，盘比赛，共盘；号运动员与另三人分别进行了，，盘比赛，共盘，所以打球盘数最多的运动员打了盘。...【拓展】有一个自然数，用它分别去除、、都有余数，个余数的和是，求这个数最大是多少？【分析】根据同余定理，是该数的倍数，，若该数是，则余数分别为，，，符合条件，所以此数最大
6、是.【练习1】求除以的余数。【分析】，，，所以除以的余数是.【练习2】一个数去除，，，这四个数，余数都相同，该数最大可能是多少？【分析】，，，，所以该数最大可能是.【练习3】，，均为非零自然数，已知：是的倍数，除以的余数是，则除以的余数是多少？【分析】，所以除以的余数是【练习4】有一列数:,,,,,,,其中第一个数是,第二个数是,从第三个起,每个数恰好是前面两个数之和的倍再加上,那么这列数中的第个数除以,得到的余数是多少？【分析】题目必然是一个周期问题,不过我们不能直接求第个数是多少,而是在这列数字除以的余数所组成的数列的
7、中寻找规律.根据余数的性质写出这列数除以以后的余数数列为是以为周期的,因为,所以这列数的第个数除以的余数是.【练习5】甲、乙、丙、丁个旅行团分别有游客人、人、人、人。现在要把这个旅行团分别进行分组，使每组有人，以便乘车前往参观游览.已知甲乙丙三个旅行团分成每组人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组人的若干组后还剩几人？【分析】甲乙丙三个旅行团分成每组人的若干组后，所剩的人数都相同，即、、除以...的余数相同，根据同余定理，这三个数两两做差，所得的差是的倍数。，，所以或或.【练习1】小朋友们围成一圈，按顺时针方向
8、连续报数.如果报和报的是同一个人，那么参加报数的小朋友至多有（）人.【分析】报数的周期就是全班的人数，所以至多有（人）....角度和广度一位老员外，特别喜欢牡丹花，庭内外都种满了牡丹。老员外采了几朵牡丹花，送给一位老翁，老翁很开心地插在花瓶里。隔天，邻居激动地和老翁说：“你的牡丹花，每一朵都缺了几片花瓣
