任意周期函数的傅里叶级数

《任意周期函数的傅里叶级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、7.8任意周期函数的傅里叶级数一教学目的与要求1、熟练掌握一般的周期函数的傅里叶级数各系数的计算公式2、理解傅里叶级数的复数形式二　重点与难点任意周期函数的傅里叶级数各系数的计算公式三教学过程　上一节主要讨论了以为周期的傅里叶级数展开问题。本节讨论一般的周期函数的傅里叶级数展开的。7.8.1以为周期的函数的傅里叶级数设函数f(x)是以为周期。作变量替换：。带入f(x)之中，令则是以为周期的函数。事实上　　　　　　由上一节知，在的傅里叶级数是其中　　　　将代人，就得到为周期的函数f(x)的傅里叶级数　　　　（８

2、.１）和傅里叶系数　　　　　　　　　（８.２）　　当f(x)在区间上满足狄利克雷条件时，f(x)的傅里叶级数（８.１）在f(x)的连续点收敛于f(x)；间断点处收敛于；在处收敛于。如果f(x)是以为周期的奇函数，其傅里叶级数是正弦级数　　　　　　　　　　　　　　（８.３）系数　　　　　（８.４）如果f(x)是以为周期的偶函数，其傅里叶级数是余弦级数　　　　　　（８.５）　　系数（8.6）[例8.1]将周期为1的函数展为傅里叶级数[解]这里。由周期函数积分的性质可知，傅里叶级数公式（8.2）中的积分区间只要保持

3、一个周期长的区间即可。故f(x)在区间[0，1]上满足狄利克雷条件，故7.8.2区间上的函数的傅里级数设f(x)在上有定义。为了求它的以为周期的傅里叶级数，将它任意延拓到区间上。在理论上，延拓的方式有无穷多种，可以根据不同的要求采取不同的方式。当常用的是下面两种：（1）偶延拓。如果希望将f(x)在上展开成余弦级数，可令函数则F（x）是上的偶函数。若f(x)在上满足狄利克雷条件，则F（x）上满足狄利克雷条件。由式（8.6）计算系数从而可知（2）奇延拓。如果希望将f(x)在上展开成正弦级数，可令函数则F（x）是上

4、的奇函数。由式（8.4）计算系数便得到f(x)在上的奇正弦级数（8.3）。[例8.2]将函数在[0，2]上展开为傅里叶正弦级数。[解]根据要求，对f(x)进行奇延拓。由公式（8。4）由于f(x)在[0，2]上连续，且F（x）在[-2，2]上连续，故7．8．3傅里叶基数的复数形式傅里叶级数的复数形式，在电子技术中经常使用。利用欧拉公式则若记则上面的基数变为（8.7）注意，当n=0时，。因此式（8.7）可写为（8.8）称式（8.8）为函数f(x)的复数形式的傅里叶级数。系数也可表达成统一的形式。事实上，同样得以上

5、所以的系数可以通过一个式表达，即（8.9）傅里叶级数的两种形式本质上一样，但复数形式（8。8）比较简洁，应用上常常更为方便。例如，在电子技术中可以利用它来作频谱分析。将一个周期函数f(x)展开为傅里叶级数，在物理上就是将一个复杂的周期波f（非正弦波）分解为一系列不同频率的简单正弦波（谐波）的叠加。这些正弦波的频率通常称为f的频率成分。在工程应用中，经常需要分析各种频率成分的正弦波振幅的大小，称此为频谱分析。在f(x)的傅里叶展开式中，称为非正弦波f的直流分量，与f同频率的正弦波称为n阶谐波。在复数形式（8.8

6、）中，由于因此，系数直接反映里n阶谐波大小。通常称为周期波（或信号）f的振幅频谱，简称为频谱。在作频谱分析时，就可以把各阶谐波的振幅与频率之间的函数关系画出相应的频谱图。[例8.3]将以4为周期，在[-2，2]上定义为函数展开为复数形式的傅里叶级数，并进行频谱分析。[解]函数f(x)的图象如图8.2，电子学只称之为矩形脉冲。其中，有了，就容易画出它的频谱图。周期T=4，取脉冲宽度则列表如下。n0123456700画出矩形脉冲的频谱图（图8.3），它是一条一条离散的谱线，随着谐波阶数n的增大，振幅很快减小，并且

7、当时，趋近于零。