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1、高高高等高等等等数数数数学学学学IIII期期期期中中中中试题试题解答一一一、一、、、选择题选择题（（（本大题（本大题有有有6有666小题小题，，，每题，每题444分4分分分,,,,共共共共24242424分分分分））））1.lim(n+3n−n−n)=（B）.n→∞A．1B.2C.3D.42.当x→0时，下列说法中正确的是(A).232A.x−x是比xx−高阶的无穷小21B.(sinx+xcos)与(1cos)ln(1+x+x)是等价无穷小x21C.(sinx+xcos)与(1cos)ln(1+x+x)不是同阶无穷小x223D.xx−是比x−x高阶的无穷小3.设函数fx()连续，且f′(0

2、)>0，则存在δ>0，使得（C）A．fx()在(0,)δ内单调增加B.fx()在(−δ,0)内单调减少C．对任意x∈(0,)δ，有fx()>f(0)D.对任意x∈−(δ,0)，有fx()>f(0)4.在[0,1]上f′′()x>0，则f′(0),f′(1),(1)f−f(0)或f(0)−f(1)的大小顺序是（B）A．f′(1)>f′(0)>f(1)−f(0)B.f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0)C．f(1)−f(0)>f′(1)>f′(0)D.f′(1)>f(0)−f(1)>f′(0)12tx5.设ft()=lim[(1t+)]，则ft′()=(A)．x→∞x2t2t2t2tA.(

3、12)+teB．2eC．(1+te)D．(2+te)1216.设fx(+)=x+且fx()可导，则fx′()=（B）．2xx11A．B．2xC．xD．2xx二二二、二、、、填空题填空题（（（本大题共有（本大题共有444小题4小题，，，每题，每题444分4分分分,,,,共共共共16161616分分分分））））d23d87.设fx()=x，ϕ()x=x，则f[()]ϕx=___3x___________.dxdx8.设y=sin(sin(sin))x，则y′=_cos(sin(sin))cos(sin)cosxxx_______________.11+acos2xb+cos4x4189.lim

4、=A，则a=−，b=，A=．4x→0x333210.曲线y=x在(0,0)点的曲率为_______2______.三三三三、、、、解答题解答题（（（本大题共有（本大题共有666小题6小题，，，每题，每题999分9分分分,,,,共共共共54545454分分分分））））xe+ln(1−x)1−11.求极限lim．x→0x−arctanxx1xe−x2e+ln(1−x)1−1−x(1−xe)−11+x解lim=lim=lim2x→0x−arctanxx→01x→0x1−x1−21+xx2(1−xe)−11+x=limlim2x→0xx→01−xx−xe=limx→02x−1=21+−x1x>

5、0,12.函数fx()=x是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数．0,x≤0;解函数在x≠0时显然连续且可导；1+−x1xf(0)+=limfx()=lim=lim=0x→+0x→+0xx→+01++x1f(0)−=limfx()=lim0=0，所以f(0)+=f(0)=f(0)−，从而函数在定义域内连续x→−0x→−01+−x1当x>0时，fx′()=，当x<0时，fx′()=0，22xx+x21+−x1−0fx()−f()0x1f′(0)=lim=limlim=∞，故fx()在x=0处不可导。+x→+0x−0x→+0xx→+0x(1++x1)1+−x1x>022xx+x

6、故fx′()=不可导x=00x<0x=−tln1(+t)d2y13.设参数方程确定了函数y=yx()，求．32dx2y=t+ty(t3+t2)′t2+td322解===3t+5t+2dx′1t−ln1(+t)1−1+tdy′d2y(3t2+5t+2)′6t+56t2+11t+5dt====dx2dx1t′t−ln1(+t)1−dt1+t2yxdy14.方程e−e−xy=0确定了函数y=yx()，求．2x=0dx0y(0)解法一由方程得e−e=0，故有y(0)=0xyxy由方程得e−ey′−−yxy′=0，故有e−ey′=+yxy′，0y(0)知e−ey′

7、(0)=y(0)+0，得y′(0)=1xyxyy由方程e−ey′=+yxy′，得e−(eyy′)′+ey′′=y′+y′+xy′′，知0y()02y()0e−ey′()0+ey′′()0=2y′()0，得y′′(0)=−2。0y(0)法二由方程得e−e=0，故有y(0)=0x0e−ye−y(0)xy′=′==由方程得e−ey′−−yxy′=0，得yy，故y()0y()01xe+0+e3ex−y