专题1 求通项公式

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1、专题1求通项公式题型1：累加法例1、已知，，求解：由已知，得，，，，各式相加得，++++==，显然，也适合上式，所以，备注1：当熟练之后，或在题目中累加法的过程不太重要时，可如下写：备注2：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。错解1：很多人认为是n个数相加，其实是n-1个数相加错解2：很多人最后是算到，但这样的话，最后算

2、出来的是，结果是的表达式，还要再算的表达式。所以，最后要算到，这样就得到是的表达式例2、已知数列满足，，求数列的通项公式。解：由，得，，，，各式相加得，+++11备注：例3、数列中，，(n=1，2，3，)，求通项解：∵∴，，各式相加得：∴例4：已知，，求解：题1：已知数列满足，求数列的通项公式题2、已知数列，满足，，求数列{}的通项公式11题型2：累乘法例1、数列中，若，，求通项解：由已知，，，，各式相乘得，备注：当熟练之后，或在题目中累加法的过程不重要时，可如下写：=错解1：很多人认为是个数相乘，其实是个数相乘错解2：很多人最后是算到，但这样的话，最后算出来的是，结果是的表达式

3、，还要再算的表达式。所以，最后要算到，这样就得到是的表达式例2、求数列，的通项公式。解：当时，，即当时，，所以题1、已知中，，且，求数列的通项公式11题型3：待定系数法：型（p，q为常数）例1、已知，，求解：∵设，则，得，则数列{}是公比为2的等比数列，因此备注1：形如（p，q为常数）的递推式求通项公式常通过构造等比数列求解，即设，展开后可得，与条件相比较得，即，从而得到一个等比数列{}，由其通项公式可求出数列{}的通项公式。如：由，设，所以，所以t=1，所以备注2：当熟练之后，可以不写中间的过程“设”，过程为：，，题1、已知数列满足，（），求数列的通项公式题2、在数列中，，当时

4、，有，求11题3：在数列中，已知，，求题型四：倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项将递推公式(c、d为非零常数)取倒数得当时，，是等差数列；当时，求再用待定系数法：令，，，则变为例1、已知数列满足，，求数列的通项公式解：求倒数得，，为等差数列，首项，公差为，，例2：已知数列满足，，求数列的通项公式解：，两边同除以，得，即，11题1、已知数列中，，，求题2、已知正项数列满足，且，求题3、在数列中，，，求数列的通项公式.题型5：除幂变换法对于递推式（p、q为非零常数，，可两边除以，得，引入辅助数列，得。当时，，数列是等差数列；当时，求数列再用待定系数法例1已知数列满足，求

5、数列的通项公式。解：两边同时除以得：令则设则由，得11题1、已知中，，，求题型6、利用前n项和法利用与Sn的关系：求例1、设数列的前n项和，求数列{}的通项公式解：当n=1时，当n2时，。验证知当n=1时不适合n2的情况。故数列的通项公式为例2、已知数列的前n项和，求数列{}的通项公式解：当n2时，当n=1时，也适合上式备注：已知的前n项和求时应注意以下四点：（1）应重视分类讨论的应用，分n=1和n2两种情况讨论。特别注意中需n2（2）由推得，当n=1时a1也适合{}的通项公式，则统一合写（3）由推得，当n=1时a1不适合{11}的通项公式，则数列的通项公式应分段表示（分写），即

6、（4）数列的前n项和数列{}是等差数列例3、在数列中，，，求通项解：∵当时，，得两边同除，得（，）又∵，，数列是以为首项，2为公差的等差数列，当时，当时，，符合的式子通项（）例4、数列的前n项和，求解：当时，当时，（问：n=1后面要不要逗号）题1、已知数列的前n项和，求数列{}的通项公式11题2、已知数列的前n项和，求数列{}的通项公式题3、已知数列的前n项和为，且，，n=1，2，3，，求，，的值及数列的通项公式题型7：无穷递推数列例1、已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以，得11则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为备注：表示阶乘，，例2：数列满足，求。

7、解：令，得，当时，，得，，令，题1、设数列满足，，求数列的通项题2：数列中，，以后各项由公式给出，则11题3：数列满足，求数列的通项公式及前项和的公式11