求通项公式专题

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1、通项公式求解方法大全:我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。例1.已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）例2、(1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，…，可用项数表示为分子是数列1，3，7，15，31，…，每一项比对应的分母少1，可用项数表示为所以，所求的数列的通项公式是(2)这个数列即：其结构特征是：①分母与项数相同；②分子是2加上或减去l，即③各项的符号为负、

2、正相间，即为所以，所求的通项公式是(3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为(4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为(5)通项公式是(6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：二、递推公式法类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知满足，而且，求通项。解∵是首项为1，公差为2的等差数列，∴例2.已知中，，求通项。解由已知可得，令，代入后个等式迭加，即。例3.在数列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通项公式。解：∵这n-1个等式累加得：=

3、故且也满足该式∴().类型2解法：形如(n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。例1、已知满足，而，求通项。解是常数，是以2为首项，公比为的等比数列。例2、在数列{}中，=1，，求。解：由已知得，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式∴().例3、在数列中，，求通项公式。解法一：解法二：由类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1、数列中，，对于有，求通项。解法1由已知递推式得两式相减

4、得因此数列是公比为3的等比数列，其首项为解法2上法得是公比为3的等比数列，于是有把个等式相加得。解法3设递推式化为整理比较得，即于是得所以是公比为3的等比数列，其首项为，即。解法4评注解法1、2、3称为构造法，但法1与法3构造出的等比数列不同，各有千秋；解法4称为迭代法，对很多递推式求通项公式都适用，应认真理解掌握。类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例1、已知中，，求通项解在两边同乘以得，令则类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一

5、(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。方法：变形为，即，若有解，解得，于是数列是公比为的等比数列，即转化为前面的类型，从而达到求解的目的。例1、已知数列中，，求解：由，故化为所以数列是公比为的等比数列，首项是所以，所以类型6．递推式为。例1、在数列中，表示其前项的和，且，求通项。解当时，。当时，，

6、又，故类型7递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例1、在数列中，表示其前项的和，且，求通项。解由…①…②两式相减得即所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故得。类型8解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例1数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.类型9解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例1、在数列中，，求通项公式。

7、解由题意知数列中的各项均为正数，即，对等式取以3为底的对数，得，则有，进而可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。类型10解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例1、在数列中，当时，求通项。解由，所以是以为首项，以为公差的等差数列。所以，即。评注：在递推关系，若，对其取倒数后得到等差数列；若，取其倒数后得到一个新的递推式，其解法于后。例2、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.类型11解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为

8、常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差