1.3微商及解析函数

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1、MathematicalMethodsinPhysics武汉大学物理科学与技术学院WuhanUniversity第一篇复变函数论TheoryofComplexVariableFunctions第一章解析函数论TheoryofAnalyticFunctions武汉大学物理科学与技术学院WuhanUniversity§§1.31.3微商及解析函数微商及解析函数一、微商及微分：1、微商：w=f(z)是z点及N(z,ε）的单值函数，Δff()z+Δz−f(z)若lim=lim存在有限，Δz→0ΔzΔz→0ΔzΔf则记f′(z)=lim，称为f(z)在z点的导数。Δz→0ΔzWuhanUnive

2、rsity1.3微商及解析函数一、微商及微分：2e.gf(z)=z222Δf(z+Δz)−z(z)′=lim=limΔz→0ΔzΔz→0Δz(2z+Δz)Δznn−1=lim=2z(z)′=nzΔz→0Δz注意：（1）Δz→0的方式必须是任意的Δf在实函数中：f′(x)=limΔx→0Δxx0WuhanUniversity1.3微商及解析函数一、微商及微分：而在复变函数中：Δff′(z)=limΔz→0Δzz0e.gf(z)=RezΔfRe(z+Δz)−Rezlim=limΔz→0ΔzΔz→0ΔzReΔzΔx=lim=limΔz→0ΔzΔz→0ΔzWuhanUniversity1.3微

3、商及解析函数一、微商及微分：z⎧Δx⎪lim=0Δ=x0Δ+Δxiy⎪Δ→y0⎪Δf⎪⎪lim=⎨Δz→0Δz⎪z⎪⎪Δx⎪lim=1Δ→x0Δ+Δxiy⎪⎩Δ=y0∴，fz()Re=z在复平面处处不可导。WuhanUniversity1.3微商及解析函数一、微商及微分：注意：（2）可导必然连续，反之则未必；如fz()Re==zx在“复平面”中处处连续，但却处处不可导。（3）可导与连续不同，由实部与虚部在某一点连续，可以断定复变函数连续，但是由实部与虚部在某点可导，并不能判断函数可导；e.(gfzz)R=eWuhanUniversity1.3微商及解析函数一、微商及微分：2.2.微分微

4、分若w=f(z)dw=f′(z)dz记-微分[ordf=f′(z)dz]dwdf则f′(z)=(=)-微商dzdzWuhanUniversity1.3微商及解析函数一、微商及微分：3.3.求导、微分法则：求导、微分法则：实函中求导、微分法则在此实函中求导、微分法则在此皆实用。皆实用。[f(z)±f(z)]′=f′(z)±f′(z)1212[f(z)⋅f(z)]′=f′(z)⋅f(z)+f(z)⋅f′(z)121212LL2ne.gp(z)=a+az+az+Lazn012nn−1→p′(z)=a+2az+L+nazn12nWuhanUniversity1.3微商及解析函数一、微商及微分：

5、4.4.可导的必要条件可导的必要条件⎧∂u∂v=⎪⎪∂x∂y⎨C-R条件∂v∂u⎪=−⎪⎩∂x∂yWuhanUniversity1.3微商及解析函数一、微商及微分：注意注意::（（11））CC--RR条件条件只是可导的必要条件，不是只是可导的必要条件，不是充分条件充分条件（（22））CC--RR条件的极坐标形式为：条件的极坐标形式为：⎧∂∂uv1⎪=⎨∂∂ρρϕ∂∂vu1⎪=−⎩∂∂ρρϕWuhanUniversity1.3微商及解析函数一、微商及微分：5.5.可导的充分条件：可导的充分条件：⎧(1)u,u;v,v均连续xyxy⎪⎨⎪⎩(2)u,v满足C−R条件WuhanUnivers

6、ity1.3微商及解析函数一、微商及微分：⎧∂u∂v+i注：注：⎪∂x∂x⎪∂v∂v由由CC--RR条件可得：条件可得：⎪+i⎪∂y∂xf′(z)=⎨∂u∂u⎪−i⎪∂x∂y⎪∂v∂u⎪−i⎩∂y∂y问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？(2)可否用求导公式判断函数是否存在？WuhanUniversity1.3微商及解析函数二、解析函数：解析函数1.1.定义：定义：若w=f(z)在z点及N(z,ε）可导，则称00w=f(z)在z点解析。0若w=f(z)在区域σ内处处可导，则称w=f(z)在区域σ内解析。引入记号f(z)∈H(σ)－表示f(z)在区域σ内解析。WuhanUnive

7、rsity1.3微商及解析函数二、解析函数：解析函数注：（（11））凡说解析都是指在某点或某区域解析凡说解析都是指在某点或某区域解析（（22））函数在某点解析是比在某点可导严格得多的函数在某点解析是比在某点可导严格得多的条件，两者并不等价。条件，两者并不等价。e.g.f(z)=z,在z=0点可导却不解析。(3)f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。(4)f(z)的不解析之点称为奇点。(5)解析函数又称为正则函数或全纯函数。WuhanUniv