《微商及解析函数》PPT课件

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1、WuhanUniversity§1.3微商及解析函数1.3微商及解析函数f′(z)=limlim0Δz=lim=lim=limz0ΔfΔz→ΔxΔz→0ΔzΔz→0Δz→0ReΔzΔzRe(z+Δz)−RezΔz1.3微商及解析函数一、微商及微分：而在复变函数中：ΔfΔz→0Δze.gf(z)=Rez注意：（2）可导必然连续，反之则未必；如f(z)=Rez=x在“复平面”中处处连续，但却处处不可导。（3）可导与连续不同，由实部与虚部在某一点连续，可以断定复变函数连续，但是由实部与虚部在某点可导，并不能判

2、断函数可导；e.gf(z)=Rez1.3微商及解析函数一、微商及微分：WuhanUniversity记1.3微商及解析函数一、微商及微分：2.微分dw=f′(z)dz[ordf=f′(z)dz]-微分则)dfdzdwdz(=f′(z)=-微商w=f(z)若pn(z)=a0+a1z+a2z+LanzLLWuhanUniversityn2e.g→p′n(z)=a1+2a2z+L+nanzn−11.3微商及解析函数一、微商及微分：3.求导、微分法则：实函中求导、微分法则在此皆实用。[f1(z)±f2(z)]′

3、=f1′(z)±f2′(z)[f1(z)⋅f2(z)]′=f1′(z)⋅f2(z)+f1(z)⋅f2′(z)1.3微商及解析函数一、微商及微分：4.可导的必要条件注意:（1）C-R条件只是可导的必要条件，不是充分条件（2）C-R条件的极坐标形式为：1.3微商及解析函数一、微商及微分：1.3微商及解析函数一、微商及微分：问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？(2)可否用求导公式判断函数是否存在？1.3微商及解析函数一、微商及微分：注：由C-R条件可得：f(z)∈H(σ)引入记号－表示f(z)在区域

4、σ内解析。1.3微商及解析函数二、解析函数：1.定义：若w=f(z)在z0点及N(z0,ε）可导，则称w=f(z)在z0点解析。若w=f(z)在区域σ内处处可导，则称w=f(z)在区域σ内解析。（注：1）凡说解析都是指在某点或某区域解析（2）函数在某点解析是比在某点可导严格得多的条件，两者并不等价。(3)f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。(4)f(z)的不解析之点称为奇点。(5)解析函数又称为正则函数或全纯函数。1.3微商及解析函数e.g.f(z)=z,在z=0点可导却不解析。二、解析函数：证明

5、：f(z)=e(cosy+isiny)在复平面2.必要条件：由解析定义和可导必要条件可得：…3.充分条件：由解析定义和可导充分条件可得：…1.3微商及解析函数二、解析函数：x解析，且f′(z)=f(z).例若f(z)=u+iv∈H(σ)1.3微商及解析函数二、解析函数：4.解析函数的部分性质=0,Δv=0则（1）Δu且由C-R连系着（2）∇u⋅∇v=0（3）已知u或v均可求出解析函数（4）解析函数的和、差、积、商仍为解析函数dy=dx−dy∂v∂xdx−∂v∂ydy=∂u∂ydx+∂u∂xdu=u=∫d

6、(x−y)+c=x−y+c例已知v(x,y)=x+y,求解析函数f(z)=u+iv（1）用全微分法（2）用积分微分求1.3微商及解析函数二、解析函数：1.3微商及解析函数二、解析函数：∂x∂y5.解析函数的物理解释：以平面静电场为例（也适合于其他标量场）：电势ψ(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程=0+∂2ψ2∂2ψ2Δψ=则由解析函数的性质，可由一解析函数f(z)=u+iv来描绘该电场称为复势。WuhanUniversity1.3微商及解析函数二、解析函数：解析函数图例1.3微商及解析函

7、数1.3微商及解析函数1.3微商及解析函数f′(z)=lim{小结一、微商及微分：ΔfΔz→0Δz1、微商：2、微分：dw=f′(z)dz∂v∂y∂u∂y==−∂u∂x∂v∂x3、求导、微分法则：4.可导的必要条件5.可导的充分条件：⎩C-R条件1.3微商及解析函数小结⎩1.3微商及解析函数小结二、解析函数：1.定义：2.必要条件：3.充分条件：4、解析函数的部分性质若f(z)=u+iv∈H(σ)则（1）Δu=0,Δv=0且由C-R连系着（2）∇u⋅∇v=0（3）已知U（或V）均可求出解析函数1.3微商

8、及解析函数本节作业习题1.3：2(2);4(3);1.3微商及解析函数