教学-概率论与数理统计

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1、滨州学院《概率论与数理统计》学习指导第3章多维随机变量及其分布一、基本要求1、理解二维随机变量的联合分布函数的基本概念和性质；离散型随机变量联合概率分布、边缘分布和条件分布；连续型随机变量联合概率密度、边缘密度和条件密度；会利用二维概率分布求有关事件的概率．2、理解随机变量的独立性及不相关性的概念及其联系和区别，掌握随机变量独立的条件；3、掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义；4、掌握根据两个随机自变量的联合分布，求其较简单函数的分布的基本方法；会根据两个或多个独立随机变量的分布求其较简单

2、函数的分布．二、内容提要㈠离散型随机变量的联合概率分布主要讨论两个离散型随机变量的联合分布，多个变量的的情形完全类似．1、联合概率分布设离散型随机变量X和Y的一切可能的集合为{x}和，{y}则X和Y的ij联合概率分布表示为：P{X=xi,Y=yj}=pij；(3.1)有时以列联表的形式表示表3.1离散型随机变量X和Y的联合概率分布YpijXyyLyLpi•=∑pij12tjxppLpLp111121t1•xppLpLp221222t2•MMMMMMxppLpLpss1s2sts•MMMLMMMp•j=∑pijppLpL1

3、•1•2•ti其中pij≥0,∑∑pij=1．ij2、边缘概率分布变量X和Y的概率分布称做其联合分布的边缘分布：-61-滨州学院《概率论与数理统计》学习指导P{X=xi}=∑P{X=xi,Y=yj}=∑pij=pi•，jj(3.2)P{Y=yj}=∑P{X=xi,Y=yj}=∑pij=p•j．ii表3.1的左右两列恰好是其中一个变量的概率分布，上下两行恰好是另一个变量的概率分布．3、条件分布随机变量Y在{X=x}条件下的条件概率分布为kP{X=x,Y=y}pp{}kjkjkjPY=yX=x===(j=1,2,L)，(3.

4、3)jk{}PX=xkpk•∑pkii亦称“Y关于{X=x}的条件分布”．对于给定的x，只要P{X=x}≠0，条件分布就有定义，kkk并且具有（无条件）概率分布的一切性质．㈡连续型随机变量的联合分布连续型随机变量的联合概率分布由联合密度表示．1、联合密度对于二连续型变量X和Y，(X,Y)可视为平面上的点．对于平面上的任意区域G，称函数f(x,y)为(X,Y)的概率密度或X和Y的联合（概率）密度，如果点(X,Y)属于G的概率可以通过一个非负函数f(x,y)的积分表示为P{(X,Y)∈G}=∫∫f(x,y)dxdy，(3.4

5、)G特别，对于矩形区域G={(x,y):a0，则称1-62-滨州学院《概率论与数理统

6、计》学习指导f(x,y)f(y

7、x)=()−∞

8、x)=f(y)f(x

9、y)，(3.9)121212㈢联合分布函数1、定义(1)称m元函数F()x,x,L,x=P{X≤x,X≤x,L,X≤x}(3.11)12n1122nn为随机向量X=()X,X,L,X的分布函数，或随机变量X,X,L,X的联合分布函数．12n12n(2)随机变量X,X,L,X中每个变量的分布函数以

10、及其中任意个变量的联合分布函数，称为12nF()x,x,L,x的边缘分布函数．12n2、性质以X和Y的联合分布函数F(x,y)为例[(1)～(4)是基本性质]．(1)０≤F(x,y)≤１，且对于每一自变量单调不减．(2)F(x,y)对于每一自变量右连续．(3)F(x,−∞)=F(−∞,y)=0，F(+∞,+∞)=1．(4)对于任意实数a

11、x)和1F(y)（反之未必）：2F(x)=F(x,+∞)，F(x)=F(+∞,y)．(3.12)12(6)连续型随机向量(X,Y)的分布函数F(x,y)可由联合密度f(x,y)表示为xyF(x,y)=∫∫f(u,v)dudv(−∞