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《概率论与数理统计第四章习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章大数定律与中心极限定理111、解E(Xk)=×lnk+×(−lnk)=(0k=,2,1?)22222D(Xk)=E(Xk)−[E(Xk)]=E(Xk)−01212=×(lnk)+(−lnk)=lnk,(k=1,2,…)221n令Yn=∑Xk，n=1,2,…,则E(Yn)=0nk=11n1n1n1nkD(Yn)=D(∑Xk)=2∑D(Xk)=2∑lnk=2∑(ln+lnn)nk=1nk=1nk=1nk=1n1n1klnn=∑ln+nk=1nnn∞1k111因为lim∑ln=∫0lnxdx=xlnx0−∫
2、0dx=−1n→∞k=1nnlnnlnxlim=lim=0.所以limD(Yn)=0n→∞nx→∞xn→∞D(Yn)故∀ε>,0由切比谢夫不等式0≤P{Yn−E(Yn)≥ε}≤2ε及由夹逼准则得nlim→∞P{Yn−E(Yn)≥ε}=0www.khdaw.com,即{Xk}服从大数定理。n1n112、证E(Xn)=2⋅+(−2)⋅+0⋅1(−)=02n+12n+12n22222D(Xn)=E(Xn)−[E(Xn)]n21n2121=2()⋅+(−2)⋅+0⋅1(−)=12n+12n+12n2221n令Yn=
3、∑Xk，(n=1,2,…)则nk=11n1n11n→∞E(Yn)=,0课后答案网D(Yn)=D(∑Xk)=2∑D(Xk)=2⋅n=⎯⎯→⎯0nk=1nk=1nnDYn1n→∞∀ε>,00≤P{Yn−EYn≥ε}≤=⎯⎯→⎯022εnε由夹逼准则知，limP{Yn−EYn≥ε}=0,所以{Xn}服从大数定律。n→∞3．设{X}为独立同分布随机变量序列，其共同分布为（0,1）上的均匀分布，令n1⎛n⎞nPYn=⎜∏Xk⎟证明：Yn⎯⎯→C，其中C为常数，并求出C。⎝k=1⎠1n证:取对数lnYn=∑lnXknk
4、=1因为{Xn}独立同分布，所以{lnXn}也独立同分布。15111又因E(lnXk)=∫0lnxdx=xlnx0−∫0dx=0(−limxlnx)−1=−1x→+0P有限(k=,2,1?),所以由辛钦大数定律，得lnYn⎯⎯→−1P−1故Yn⎯⎯→e=C(n→∞)4．在一家保险合同里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年中一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？解（1）根据
5、题设条件，所求问题应该以“年”为单位来考虑。在年初，保险公司总收入为10000×12=120000(元)设一年中死亡人数为X，则X~B(n,p)，其中n=10000,p=0.006.从而保险公司在这一年应付出1000X（元），要使保险公司亏本，则必须1000X>120000，即X>120（人）因此由德莫佛—拉普拉斯定理，P{保险公司亏本}=P{X>120}⎧⎪X−np120−np⎫⎪⎧⎪X−np⎫⎪=P⎨>⎬=P⎨>.7769⎬=1−Φ.7(7699)≈0⎪⎩np1(−p)np1(−p)⎪⎭⎪⎩np1(−p
6、)⎪⎭（2）P{保险公司获利不少于40000元}=P{120000−1000X≥40000}=P{X≤80}⎧⎪X−np80−np⎫⎪⎧⎪X−np⎫⎪=P⎨≤⎬=P⎨≤.259⎬=Φ.2(59)=.0995⎪⎩np1(−p)np1(−p)⎪⎭⎪⎩np1(−p)⎪⎭5．试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？1（1）P{Xk=−K}=P{Xk=K}=www.khdaw.com,k=,2,1?2aa1（2）P{Xk=−K}=P{Xk=K}=P{Xk=}0=,a>,0k=,2,1?311解（1
7、）EXk=(−k)⋅+(k)⋅=02221212nn1DXk=(−k)⋅+(k)⋅=k.Bn=∑DXk=∑k=n(n+)122k=1k=12δ2+δ2+δ12+δ11+EXk=−k⋅+k⋅=k222课后答案网δ1n2+δ1n2+δ1n1+∑EXk−EXk=∑EXk=∑k22+δ2+δ2+δBnk=1Bnk=1Bnk=1δ1+δ22n1+=∑k2δ1+k=1[n1(+n)]21n2+δ4n2取δ=2，则∑EXk−EXk=2∑k2+δBnk=1[n1(+n)]k=1164nn→∞=⋅(n+1)(2n+)1⎯⎯→
8、⎯0[n1(+n)]26即李雅普诺夫定理的条件成立，故对于{Xk}李雅普诺夫定理成立。α1α1（2）EXk=(−k)⋅+(k)⋅=0332α21α2122αDXk=EXk=(−k)⋅+(k)⋅=k3332n2n2α2+δα2+δ1α2+δ12α2(+δ)Bn=∑DXk=∑k,EXk=−k⋅+k⋅=kk=13k=1333δ1n2+δ1n2+δ2nα2(+δ)2n2α1+2−12+δ∑EXk−EXk=2+δ∑EXk=
