图像修补中的pde模型

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1、南京理1=大学硕士学位论文图像修补中的PDE模型偏微分方程在图像处理领域的研究开始于六、七十年代，Gabor，Rudin，Osher[16][17][31]等分别从去噪的角度出发，把偏微分方程引入了图像处理领域。但是这种方法真正建立起来是从Koenderink和Witkin开始，他们在图像处理中引入了尺度空间(ScaleSpace)的严格理论，尺度空间理论是今天图像处理中对偏微分方程研究的基础。他们的工作是将多尺度图像表示为Gaussian滤波器处理的结果，等效于将原图像经过热传导方程使之变形，获得各向同性的扩散流。在80年

2、代末，Hummel提出热传导方程并不是唯一可以构成尺度空间的方程，并提出构成尺度空间的准则。关于图像模型，一种确定性观点认为图像可理解为Sobolev空间的光滑函数，因此可利用Sobolev空间Tikhonov正则化变分模型来求解，离散化后就相当于Gaussian扩散，这常常会造成边缘的模糊。Perona和Malik提出的各向异性扩散在这个领域最具有影响力。他们提出用一个可以保持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian扩散。他们的工作引发了许多理论和实际问题的研究。Osher和Rudin提出的TV(totalvariati

3、on)模型更突出了偏微分方程在图像处理中的重要性，Chan和Shen最早将其应用于图像修补领域【18】。还有很多在图像处理领域广泛使用的偏微分方程是基于曲线或曲面的曲率变化的，蚓t1]Osher和Sethian提出的很有影响力的水平集策略，Masnou和Morel以及Chan，Kang和Shen提出并研究的弹性函数图像修补模型，以及Mumford和Shah的分割模型都在对用偏微分方程解决图像修补问题的领域产生深远的影响。几乎所有处理图像的PDE都可以修改为图像修补模型，并建立一般修补模型的形式。但这些模型基本是基于非纹理区域

4、建立的，一般只适用于纹理较少的基本没有什么振荡的图像。在理论和计算上，PDE方法有很多优点：(1)可以直接处理图像的几何特征参数，比如梯度、切线、水平集；(2)可以有效的模拟图像的动态过程，比如图像的线性或者非线性的扩散过程和图像的传输过程；(3)可以采用目前已有的丰富的PDE计算方程和离散的分析方法，比如热力学上的非线性扩散方程就可以方便的用于图像的平滑去噪[19】。1．3修补模型的建立理论图像修补的关键是为图像函数建立正确的修补模型。按照贝叶斯观点来说，这就是建立一个适当的先验模型。这是所有涉及图像恢复的问题中一个十分重

5、要的部分，图像恢复的建模过程一般依赖Helmholtz最佳猜测原理。另外，一个实用的图像修补模型应该能够从含有噪声的图像中提取出干净的图像，并且从剩余的图像信息中猜测最佳的丢失信息。因而依据最佳猜测原理建立图像修补模型是自然的。在视觉研究中，Helmholtz假设一直起着重要的作用。Helrnholtz假设认为：我们5第一章数字图像修补理论介绍硕士论文所能感觉到的是我们对给我们以感觉上的信息的世界形态的最好的猜测。从统计的角度看，最佳猜测原理就是我们所熟知的贝叶斯理论【20】【21】[22]【23】。另一方面，从确定性理论来

6、说，这种“最佳猜测’’是由优化能量函数实现的[12】，因此它的困难点在于提出感觉上有意义的能量泛函。在贝叶斯观点中，最佳的猜测就是最大化后验概率，这里我们利用受到损坏的图像‰恢复原始的图像U，即求使得prob(“l甜。)最大的“。贝叶斯麟prob(“l,to)=焉似Zlo帆(1．3．1)一旦图像％给定，上式的分母就是一个固定的常数，那么1,l的估计就依赖于观测到的图像U。与U的联系和基于最佳猜测而建立的图像先验概率。具体来说，基于贝叶斯框架的图像恢复模型分两部分：1．先验模型：prob(u)⋯真实图像应该满足什么样的性质。2

7、．数据模型：prob(ulUo)⋯观测到的图像“o是怎样从理想图像“获得的，即观测图像和理想图像的联系。对于图像修补，数据模型通常很简单，如图1．3．1所示：可获得的部分甜oJt'lo是边界触将原始图像分割并叠加噪音刀污染的：II／0lt"／o=甜Ino+刀(1．3．2)由于在修补区域Q上没有可用的数据信息，重构区域Q上的图像信息的工作就只能靠图像模型了。因此好的模型对于图像修补工作比其他任何的经典恢复问题(例如去噪、去模糊以及分割问题)更为重要。图像建模可以从滤波、参数或非参数估计以及熵方法中学习到[24】【25】，而统计

8、的方法更加适合修补或合成富含纹理的图像【26】【27】。另一方面，在多数修补问题中，修补区域常常“消去”了图像中一些重要的几何信息，例如边界。为了重构这些几何信息，就需要图像模型能够很好的解决这些几何问题，大多数惯用的概率模型缺少这样的特性。幸运的是，在图像处理中的一些能量模型是由几何信息