平均不等式经典例题透析

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1、经典例题透析类型一：基本不等式的应用条件　　1．给出下面四个推导过程：　　①；　　②；　　③；　　④。　　其中正确的推导为（）　　A.①②　　　B.②③　　　C.③④　　　D.①④　　思路点拨：利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可　　解析：　　①符合基本不等式的条件，故①推导正确.　　②虽然，但当或时，是负数，②的推导是错误的.　　③由不符合基本不等式的条件，是错误的.　　④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正　　　数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.　　总结升华：　　利用基本不等式求最

2、大（小）值问题时，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，只有三者都满足了，才可以用基本不等式求函数的最值。　　①正：中，,即各项均为正数；　　②定：只有（定值）时，，才有最大值；　　　只有（定值）时，，才有最小值；　　③等：只有时，中的等号才成立。　　举一反三：　　【变式1】.（2011浙江，16））设为实数，若则的最大值是__________.　　【答案】　　【变式2】下列结论正确的是（）　　A．当x>0,且x1时，　　　B．当时，　　C.当时，的最小值为2　　　　D．当时，无最大值　　【答案】B　　【变式3】下列命题中正确的个数是（）　　①函数的最

3、小值是－1；　　②的最小值是4；　　③若，则有最大值－1。　　A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个　　【答案】C；①③正确　　【变式4】某班的同学在做下题时给出了以下三种方法，请判断这三种方法的正误。　　已知：且求的最小值.　　解法一：由得，①　　　　　　②；　　　　　　①+②有　　　　　　　　解法二：由得　　　　　　故的最小值是　　解法三：由得　　　　　　当且仅当即时取等号　　　　　　时，的最小值为　　【答案】　　解法一中，当且仅当且时等号成立，此时显然不满足，解法一错误.　　解法二中，两者右端均不是“常数”不满足基本不等式的最值条件，即

4、以上两式等号不能同时成立，解法二错误.　　解法三正确.类型二：求最值　　2．函数　　（1）若，则当x=_______时，函数有最小值______；　　（2）若，则当x=_____时，函数有最小值_______；　　（3）若，则当x=______时，函数有最小值_______；　　（4）若，则当x=_______时，函数有最大值______.　　解析：　　（1）∵，∴（当且仅当时取等号）　　　　故当时，函数有最小值为4；　　（2）∵，∴时，函数单调递减，　　　　故当时，函数有最小值为；　　（3）∵，∴时，函数单调递增，　　　　故当时，函数有最小值为；　　（

5、4）∵，∴　　　　∴（当且仅当时取等号）　　　　∴（当且仅当时取等号），　　　　故当时，函数有最大值为.　　总结升华：　　使用基本不等式，求两个数（式子）的最值时，一定要注意“一正二定三相等”，只有三者都满足了，才可以用基本不等式求函数的最值；若不能满足“一正二定三相等”这三个条件中的任何一个，不能用基本不等式求函数的最值，但可以利用导数求函数的最值。　　举一反三：　　【变式1】求下列函数的最大（或最小）值。　　（1）；　　　（2）　　（3）；　　【答案】　　（1）由于　　　　为正数，且为定值　　　　　　　　（当且仅当时取等号）　　　　∴当时，。　　（2

6、）且为常数　　　　（当且仅当时取等号）　　　　∴当时，。　　（3）∵且　　　　∴（当且仅时取等号），　　　　∴最小值为。　　【变式2】（2011江苏，8）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是．　　【答案】4　　【变式3】已知函数，则函数的最大值是（）　　A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．6　　【答案】∵，∴　　　　　　∴　　　　　　（当且仅当时取等号）　　【变式4】已知　　（1）当时,有最小值_______；　　（2）当时,有最大值_________.　　【答案】　　（1）当时,，有，（当且仅当时取等号

7、），　　　　所以有最小值为7；　　（2）当时,,，有　　　　（当且仅当时取等号），　　　　∴，所以有最大值.　　3.已知且，求的最小值.　　思路点拨：要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.　　解析：　　解法一：且，　　　　　　　　　　　　当且仅当即时等号成立，　　　　　　的最小值是16.　　解法二：由，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当且仅当即时，取等号，此时　　　　　　的最小值是16.　　解法三：由得，　　　　　　　　　　　　当且仅当时取等号，又　　　　　　∴时，的

8、最小值是16.　　总结升华：　　本题给出了三种解法，均用到了基本不等式，且都对式