不等式证明的基本方法 经典例题透析

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1、经典例题透析类型一：比较法证明不等式　　1、用作差比较法证明下列不等式：　　（1）；　　（2）(a，b均为正数，且a≠b)　　思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2,b2,ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。　　证明：　　（1）　　　　　　　　当且仅当a=b=c时等号成立，　　　　（当且仅当a=b=c取等号）.　　（2）　　　　　　　　∵a>0,b>0,a≠b,　　　　∴a+b>0,(a-b)2>0,　　　　∴，　　　　∴.　　总结升华：作差，变形（分解因

2、式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。　　举一反三：　　【变式1】证明下列不等式：　　(1)a2+b2+2≥2(a+b)　　(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)　　(3)a2+b2≥ab+a+b-1　　【答案】　　（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0　　　　∴a2+b2+2≥2(a+b)　　（2）证法同（1）　　（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1

3、)2+(b-1)2≥0　　　　∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1　　【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2　　【答案】　　ax2+by2-(ax+by)2　　=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy　　=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy　　=ab(x-y)2≥0　　∴ax2+by2≥(ax+by)2　　2、用作商比较法证明下列不等式：　　（1）(a，b均为正实数，且a≠b)　　（2）（a，b，c∈，且a，b，c

4、互不相等）　　证明：　　（1）∵a3+b3>0,a2b+ab2>0.　　　　∴，　　　　∵a,b为不等正数，∴，∴　　　　∴　　（2）证明：　　　　　　　不妨设a>b>c，则　　　　　　　∴　　　　　　　所以，　　总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简.作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1结论。　　举一反三：　　【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b2，b>2　　∴　　∴　　∴　　【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba　　【答

5、案】　　∵a>0,b>0,∴aabb与abba均为正，　　∴，　　分类讨论可知（分a>b>0,a=b>0,06abc　　证明：　　法一：由b2+c2≥2bc,a>0,得a(b2+c2)≥2abc，　　　　　同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc　　　　　∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，　　　　　三式相加有：a(b2+c2)+b(c2

6、+a2)+c(a2+b2)>6abc.　　法二：∵a，b，c是不全相等的正数，　　　　　∴a(b2+c2),b(c2+a2),c(a2+b2)均为正数，　　　　　由三个数的平均不等式得：　　　　　a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)　　　　　　　　　　∴不等式成立.　　总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。　　举一反三：　　【变式1】a,b,m∈R+，且a0,∴am

7、b+m>0,∴.　　【变式2】求证lg9·lg11<1.　　【答案】　　∵lg9>0,lg11>0,　　∴,　　∴,∴lg9·lg11<1.　　4、若a>b>0，求证：.　　思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.　　证明：，　　　　　∵a>b>0,∴a-b>0,b>0,,　　　　　∴,　　　　　∴（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）　　举一反三：　　【变式】x,y,z∈R+,求证：　　证明：∵x,y,z∈R+,∴,　　　　　同理，　　　　　∴,　　　

8、　　∴类型三：分析法证明不等式　　5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：　　证明：要证，　　　　　只需证