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1、矩阵的秩例如:对于方阵,矩阵在初等变矩阵的秩可以反映矩阵的可逆性、换下可化成怎样的标准形式、线性方程组是否有解、齐次线性方程组的基础解系含有几个解向量等.还有“特征值”.能反映矩阵的许多特性.除“秩”外,Ch3矩阵的特征值和特征向量在矩阵求逆、矩阵运算中，掌握矩阵的特征值、特征向量和相似矩阵理论是重要和方便的。它们在很多方面都有广泛应用。§3.1矩阵的特征值和特征向量在经济管理的许多定量分析模型中，经常遇到矩阵特征值和特征向量问题。引言例如例1定量分析污染与工业发挥水平的关系模型：，设是某地区目前的污染水平，是目前的工业发展水平。若干年后的污染述评和
2、工业发展水平分别为，它们之间具有关系或记有当有，，，。，由此，可预测出污染水平和工业发展水平的状态具有倍数关系。这是所谓矩阵特征值与特征向量问题。。下面给出特征值与特征向量概念，除特别声明，均在实数域上讨论矩阵特征值与特征向量问题。时一、矩阵的特征值、特征向量概念定义3.1设是阶矩阵，如果存在一个数,相应地有非零向量,使得（3.1.1）,那么就称是矩阵的一个特征值,称为的一个特征向量.的属于特征值注1)矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件:（1）特征值是一个数；（2）特征向量是非零向量,且满足；（3）对任何数,有,但0不是的特征向量,也不能说不是的特
3、征值.注2)特征值与特征向量是相互联系的两个概念,即有特征值一定有相应的特征向量,有特征向量一定有相应的特征值.注3)等式刻划特征向量的特性:对作用只发生数量倍的变化.对于普通的几何空间而言,上述特性有明显的几何意义:与共线.一般地，向量经过线性变换后，表明是共线的。注4）对给定矩阵，并不是随便那个数都是它的特征值的。二、特征值、特征向量的求法、特征多项式设矩阵有一个特征值,是的属于特征值的特征向量，则,于是有.这表明是齐次线性方程组(3.1.2)的一个非零解（向量）。因而由齐次线性方程组理论，于是其系数矩阵的行列式。设为阶矩阵,命题是矩阵一个特征值
4、充分必要条件是为以为变量的一元次代数方程(3.1.3)的根。称为A的特征矩阵，其行列式定义3.2含有未知数的矩阵称为矩阵的特征多项式,记作.称为矩阵的特征方程。是A的属于特征值的特征向量的充分必要条件是为特征方程的根，设为阶矩阵,代数方程（证明略）定理3.1则是A的特征值，是齐次线性方程组的非零解（向量）。注1)的特征多项式是一个次且首项系数是1；多项式,注2)如果是A的特征值，常常称为A的特征根；注3)根据定理3.1和齐次方程组理论，可以得到推论1如果是A的属于特征值的特征向量，则对任意常数，也是A的属于特征值的特征向量。且，则推论2如果都是A的属
5、于特征值的特征向量，也是A的属于特征值的特征向量。为数值。推论3如果都是A的属于特征值的特征向量，则也是A的属于特征值的特征向量，其中(它就是的属于特征值的全部特征值、特征向量的求法注4)第一步对给定下的矩阵，计算特征多项式;第二步求出特征方程中的全部根(即的全部特征值，其中可能有重根或成对出现、重数相同的复数根);第三步对每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系的极大无关的特征向量组),由此可求出的属于的全部特征向量，其中为数值.例2．求矩阵的特征值和相应的特征向量.解：矩阵的特征多项式为因此由可得的全部特征值为.即求解对于，解齐次线性方程组
6、,得到一个基础解系，，这里为任意常数。于是的属于的全部特征向量为即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系，这里为任意常数。于是的属于的全部特征向量为，例3．求矩阵的特征值和相应的特征向量.解：矩阵的特征多项式为因此没有实数解，在实数域上无特征值，但在复数域上，可得的全部特征值为解齐次线性方程组,对于，即求解得到一个基础解系，全部特征向量为，解齐次线性方程组,对于，的于是的属于的全部特征向量为，这里为任意常数。即求解得到一个基础解系，于是的属于这里为任意常数。特征值与讨论数域有关，如果限制在实数域上，矩阵的特征值可能不存在或者不够多。注5）本例表
7、明，对于给定的实数矩阵，其特征值可能不是实数，这时它的所有特征值全为复数。对于，例4．求矩阵特征值和相应的特征向量.解:矩阵的特征多项式为因此由可得的全部特征值为（二重根），.即求解解齐次线性方程组,得到一个基础解系，于是的属于的全部特征向量为这里为不全为零的任意常数。即求解对于，解齐次线性方程组,于是的属于的全部特征向量为得到一个基础解系，这里，为任意常数。求矩阵特征值和相应的特征向量.例5．解:矩阵的特征多项式为（二重根），.因此由可得的全部特征值为即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系解齐次线性方程组,的属于的全部为非零任意常数。于是特
8、征向量为，这里即求解对于，,于是的属于得到一个基础解系，的全部特征向量为，为任意常数。这里对于给定的阶矩阵A
