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《2017-2018版高中数学第3章空间向量与立体几何321直线的方向向量与平面的法向量学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2.1直线的方向向量与平面的法向量［学习目标］1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量.戸知识梳理自主学习知识点一直线的方向向量直线/上的向量以及与£共线的非零向量叫做直线/的方向向量.知识点二平面的法向量如果表示非零向量刀的有向线段所在直线垂直于平面a,那么称向量〃垂直于平面Q,记作Z2丄"，此时，我们把向量力叫做平面a的法向呈.思考1.平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案相互平行.2.一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等.尹题型探究重点突破题型一直线的方向向量及其应用例1设直线厶的方向
2、向量为0=(1,2,—2),直线厶的方向向量为*(—2,3,/〃)，若人丄人,则m=.答案2解析由题意，得2丄方，所以a•b=(1,2,—2)・(一2,3,/〃)=—2+6—2刃=4—2/〃=0,所以772=2.反思与感悟若人丄人，则厶与人的方向向量垂直；若厶〃Z2,则厶与人的方向向量平行.跟踪训练1若直线厶，人的方向向量分别是a=(l,-3,-1),6=(8,2,2),则厶与厶的位置关系是•答案垂直解析因为a•(1,—3,—1)•(&2,2)=8—6—2=0,所以a丄b,从而厶丄厶.题型二求平面的法向量例2如图所示，在四棱锥S—昇〃仞中，底面是直角梯形，乙ABC=Sg90°,场丄底面A
3、BCD,且戲=初=心1,AD=~t建立适当的空间直角坐标系，求平面SG?与平面SBA的一个法向量.解如图，以力为原点，以尬旋辰分别为从y,2轴的正方向建立空间直角坐标系，则J(0,0,0),Z?(
4、,0,0),rd,1,0),5(0,0,1),则~DC=(
5、,1,0),DS=(-*，0,1).易知向量乔=(*,0,0)是平面加的一个法向量.设/?=(/,y,z)为平面的法向量，n・~DC=^x+y=0,11尸一尹'取x=2,则y=—1,z=l,・••平SDC的一个法向量为(2,-1,1).反思与感悟求平面法向量的方法与步骤:(1)求平面的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如花，乔；(2
6、)设平面的法向量为n=(x,y,z):n•AC=0,(3)联立方程组_并求解；、刀•AB=0,(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2已知水1,0,1),M0,1,1),f(l,1,0),求平面〃力的一个法向量.解设平面月〃C的法向量为n=(%,y,z),由题意知乔=(—1,1,0)，反=(1,0，-1).x=y,解得Tn丄乔，力丄滋令x=,则y=z=l.x=z.・••平面磁的一个法向量为77=(1,1,1).题型三证明平面的法向量例3在正方体ABCDAxBxCxIK中，E,厂分别是幽，皿的中点求证：
7、乔是平面昇加的法向量.证明如图，以〃为坐标原点，DA,DC,场分别为从y,z轴，建立空间直角坐标系，£(1,1,*),F(0,0),设正方体的棱长为1,则〃(0,0,0),〃(0,0,1),水1,0,0),所以乔=(一1,0,0),弘=(0,-1),旋=(0,1,*),所以乔・R>=(—1,0,0)・(0,-1)=0,応・乔=(0,1,*)・(0,-1)=0,所以旋丄亦旋1亦又ADOAE=A,所以亦丄平面血於,从而亦是平面血疋的法向量・反思与感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.跟踪训练3已知正方
8、体ABCDA、BGD的棱长为1,在BC、勿上是否存在点E、F,使恥是平面/莎的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点£尸满足的条件；若不存在，请说明理由.解建立如图所示的空间直角坐标系，则水1,0,1),Ml,1,1),5i(l,1,0),设厂(0,0,力)，E{mf1,1),则乔=(0,1,0),麻=(Z77—1,0,1),7^4=(1,0,1-/7).・・•乔・ak=0,:.ABLBxE.若旋是平面〃昕的法向量，则麻・FA=m~+—力=刃一力=0,:.h=m.即£F满足DF=CE时，E醍平面肋尸的法向量.故存在，且从尸满足IXF=CE,易错点利用向量法判断直线与平面平行例4
9、已知〃是平面a的一个法向量，$是直线1的一个方向向量，若u=(3,1,2),a=(―2,2,2)，则/与a的位置关系是.错解因为u・a=(3,1,2)•(-2,2,2)=3X(一2)+1X2+2X2=0,所以£/丄2,所以1//Q.错因分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例屮由向量"丄日可得lua或/〃a.正解因为“a=(3,1,2)・(-2,2,2)=3X(-2)+lX2+2X2=0.所以"丄
