正四面体的性质最终版

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1、正四面体的性质：设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积     S全=；(2)体积       V=；(3)对棱中点连线段的长   d=；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。)(4)相邻两面所成的二面角   =(5)对棱互相垂直。(6)侧棱与底面所成的角为=(7)外接球半径     R=；(8)内切球半径   r=.(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.ABCDOH如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC

2、=∠COA=90°，OA=,OB=,OC=.则①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③体积   V=；④底面面积S△ABC=；⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC；⑥S2△BOC+S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC⑦;⑧外接球半径   R=；⑨内切球半径 r=四面体的性质探究如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。一．四面体性质ABDCOS1S2S3S41．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为

3、S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角A-DC-B为θ2-3，二面角A-BD-C为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ2-4，二面角B-AC-D为θ1-2，则S1=S2cosθ1-2+S3cosθ1-3+S4cosθ1-4S2=S1cosθ1-2+S3cosθ2-3+S4cosθ2-4S3=S1cosθ1-3+S2cosθ2-3+S4cosθ3-4S4=S1cosθ1-4+S2cosθ2-4+S3cosθ3-42．性质2(类似余弦定理)S12=S22+S32+S42-2S2S3cosθ2-3-2S2S4cosθ2-4-2S3S4cosθ

4、3-4S22=S12+S32+S42-2S1S3cosθ1-3-2S1S4cosθ1-4-2S3S4cosθ3-4S32=S12+S22+S42-2S1S2cosθ1-2-2S1S4cosθ1-4-2S2S4cosθ2-4S42=S12+S22+S32-2S1S2cosθ1-2-2S1S3cosθ1-3-2S2S3cosθ2-3特别地，当cosθ1-2=cosθ1-4=cosθ2-4=0，即二面角C-AB-D、C-AD-B、B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有S32=S12+S22+S42，证明：S32=S3S1cosθ1-3+S3S2c

5、osθ2-3+S3S4cosθ3-4       =S1S3cosθ1-3+S2S3cosθ2-3+S3S4cosθ3-4       =S1（S1-S2cosθ1-2+S4cosθ1-4）+S2（S2-S1cosθ1-2+S4cosθ2-4）+           S4（S4-S1cosθ1-4+S2cosθ2-4）       =S12+S22+S42-2S1S2cosθ1-2-2S1S4cosθ1-4-2S2S4cosθ2-4二．正四面体的性质设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积     S全=；(2)体积       V=；(3)对棱中点连线段的

6、长   d=；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。)(4)相邻两面所成的二面角   =(5)对棱互相垂直。(6)侧棱与底面所成的角为=(7)外接球半径     R=；(8)内切球半径   r=.(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).三．直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质：ABCDOH如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=,OB=,OC=.则①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影

7、H是△ABC的垂心；③体积   V=；④底面面积S△ABC=；⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC；⑥S2△BOC+S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC⑦;⑧外接球半径   R=；⑨内切球半径 r=三．应用由课本新教材第二册下(A)53页第8题可知，正方体截去四个三棱锥后,得到一个正四面体。若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为r、r',易知有如下结论：性质①正四面体内接于一正方体，且a′=性质②V正四面体=V正方体=a3性质③R'=R=a性质④r'=r=(证明略)利用