小谈正四面体的一些性质及其应用

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1、小谈正四面体的一些性质及其应用[日期：2008-06-11]来源： 作者：[字体：大中小]小谈正四面体的一些性质及其应用湖州五中施悦正四面体是由四个等边三角形组成的正多面体，一个锥体，有4个顶点和6条边。1．正四面体与正方体的有关性质(1)将一个棱长为的正方体沿相邻三个面的对角线截出四个棱锥,剩余部分为正四面体，那么正方体的体积为,截去的四个三棱锥的体积都为,正四面体的棱长为正方体面对角线，长度为它的高为，表面积为，体积为，其相对棱的距离为。(2)正四面体的一个面（也是正方体的一个截面）与通过它的一

2、条对角线垂直。(3)正四面体的高为正方体对角线长的三分之二。2．正四面体的三个球的有关性质正四面体的三个球：一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。正方体的内接正四面体，很显然，正四面体的外接球即为正方体的外接球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心。综上，若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′,正方

3、体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为r、r',易知有如下结论：性质①正四面体内接于一正方体，且a′=性质②V正四面体=V正方体=a3性质③R'=R=a性质④r'=r=3．应用利用上述结论可迅速解决如下各题:例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等()(90年全国高考试题)(A)90°（B）60°（C）45°（D）30°分析：本题若仔细观察已知条件，易知S-ABC为正四面体。而一正四面体必可补成正方体，显然，EF在正方体的两底面

4、的中心连线上，与正方体的侧棱SD平行，由∠ASD=45°，知选(C).例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.解:将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为.故V正方体=()3=2∴V正四面体=V正方体=。例3.如图S-ABC是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是____.(2000年春季高考题)分析：连接SE、SF延

5、长分别交AB、BC于G、H，易知EF=GH=AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结论①②，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=216，故正方体的棱为6，而正四面体的棱长为6，所以EF=AB=2.例4.半径为R的球的内接正四面体的体积等于___________.(第十一届“希望杯”高一培训题)分析:由上述结论①②③可知,半径为R的球的内接正方体的对角线长为2R,故其棱长为,其体积为V正方体=()3=,V正四面体=.正四面体与正方体是立几中较特

6、殊、内涵较丰富的几何体,且两者有着密不可分的关系.我们在解题时若注意运用两者的特殊关系,往往会达到“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村.”的效果