64特征根与特征向量

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1、6.4特征根与特征向量授课题目：6.4特征根与特征向量授课时数：4学时教学目标：掌握特征根与特征向量的定义、性质与求法教学重点：特征根与特征向量的定义与性质教学难点：特征根与特征向量的求法教学过程：一.特征根与特征向量的定义与例子1.一个问题对n维线性空间V的线性变换σ，能否在它所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵――对角矩阵来表示．换句话说，能否在V中找到一个基{α1，α2，…，αn}，使σ在这个基下的矩阵是对角形即有（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））＝(α1，α2，…，αn)具体写出来，就是σ（αi）=

2、αi,i=1,2,…,n.由上面的分析可知，要寻找这样的基（如果有的话），首先要寻找满足条件σ（ξ）=ξ的数和非零向量ξ．2.特征根与特征向量的定义定义1　设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换．如果对应F中的一个数λ，存在V中的非零向量ξ，使得σ（ξ）=λξ（1）那么λ就叫做σ的一个特征根（值），而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个特征向量．其中（1）式的几何意义是：特征向量ξ与它在σ下的象σ（ξ）保持在同一直线L（ξ）上，＞0时方向相同，＜0时方向相反，＝0时，σ（ξ）=0．3.几个基本事实设是σ的特征根，存在如下基本事

3、实：1）若ξ1，ξ2，是σ的属于特征根的特征向量，则当ξ1+ξ2≠0时，ξ1+ξ2也是σ的属于特征根的特征向量．因为σ（ξ1+ξ2）＝σ（ξ1）+σ（ξ2）＝（ξ1+ξ2）．2）若ξ是σ的属于特征根的特征向量，则对任意k∈F，k≠0，kξ也是σ的属于特征根的特征向量，这是因为kξ≠0，且σ（kξ）＝kσ（ξ）＝k（ξ）＝（kξ）．3）一个特征向量只能属于一个特征值．事实上，设ξ≠0是σ的属于特征值与的特征向量，就有σ（ξ）＝ξ＝′ξ，（-′）ξ＝0，而ξ≠0，只有-＝0，从而＝．从上面的性质可知，把σ的属于特征根的全部

4、特征向量再添上零向量组成V的一个子集，它对V的加法和数量乘法作成V的一个子空间，记为Vλ．Vλ={ξ∈V

5、σ（ξ）=ξ},称为σ的属于特征根的特征子空间．当是σ的特征根时，Vλ≠{0}，因此，Vλ含有无限多个向量．但我们只要求出Vλ的一个基，Vλ就被确定了．4.几个例子例1　在V3中，σ是关于过原点的平面H的反射，它是一个线性变换．那么H中的每个非零向量都是σ的属于特征根1的特征向量，Vλ就是平面H．与H垂直的非零向量都是σ的属于特征根-1的特征向量，即V-1就是直线L（见图6.5）.图6.5例2　在V2中，σ是绕原点

6、反时针旋转φ角的线性变换，由几何直观可看出，当φ≠kπ时（k为整数），σ没有特征根．例3　设V表示定义杂实数域上的可微分任意次的实函数的全体构成的线性空间．令σ（f(x)）=f′(x),σ是V的线性变换．对于每个实数，有σ（eλx）=λeλx.所以，是σ的特征根，而eλx是σ的属于的特征向量．二.特征根与特征向量的求法1.问题的转化直接由定义来求线性变换的特征值与特征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题．设V是数域F上的n维线性空间，取定它的基｛α1，α2，…，αn｝，令线性变换σ在这个基下的矩阵是A

7、＝（aij）.如果ξ＝k1α1+k2α2+…+knαn是线性变换σ的属于特征根的一个特征向量，那么，σ（ξ）关于基｛α1，α2，…，αn｝的坐标是而λξ的坐标是这样，就有或这说明特征向量ξ的坐标（k1，k2，…，kn）是齐次线性方程组（2）的非零解．从而（2）的系数行列式为（3）反过来，如果∈F，满足等式（3），齐次线性方程组（2）有非零解（k1，k2，…，kn），ξ＝k1α1+k2α2+…+knαn满足等式（1），是σ的一个特征根，ξ就是σ的属于特征根的特征向量．由上面分析，可以得到以下的结论1）∈F是σ的特征根的充

8、分必要条件是它满足方程（3）；2）对于特征根，子空间Vλ中一切向量在基｛α1，α2，…，αn｝下的坐标正好构成齐次线性方程组（I-A）X=0的在F上的解空间．实际上有Vλ与（I-A）X=0的解空间同构.Vλ的一个基｛β1，β2，…，βn｝可由齐次线性方程组（I-A）X=0的一个基础解系｛η1，η2，…，ηn｝给出.（其中βi=(α1，α2，…，αn)ηi,i=1,2,…,r）.2.矩阵的特征多项式与特征根定义3　设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵，行列式叫做矩阵A的特征多项式．fA(x)在C内的根叫做矩阵A的特征

9、根．设λ0∈C是矩阵A的特征根，而k0∈Cn是一个非零的列向量，使Ax0=λ0x0,就是说，x0是齐次线性方程组（λ0I-A）X=0的一个非零解．我们称x0是矩阵A的属于特征根λ0的特征向量．3.线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系这里我们要注意：（1）如果σ关于某个基的矩阵是A,那么σ的特征根一定是A的特征根，但A的特征根却不一