资源描述：
《特征值与特征向量3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第5章特征值与特征向量5.1矩阵特征值与特征向量5.2相似矩阵5.3实对称矩阵的特征值和特征向量考研园地下页5.1矩阵特征值与特征向量1.矩阵的特征值与特征向量的定义2.矩阵的特征值与特征向量的性质本章上页下页5.1矩阵特征值与特征向量1.矩阵的特征值与特征向量的定义定义1设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在非零列向量x,使得则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量它有非零解的充分必要条件是系数行列式上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量上页下页
2、本节5.1矩阵特征值与特征向量是一个关于λ的n次多项式,记作f(λ).上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量定义2λ是一个未知量,则矩阵λE－A称为A的特征矩阵,其行列式称为A的特征多项式,称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.设n阶矩阵A特征方程的n个特征根为上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量定义3是阶方阵,则A的迹,记作tr(A).为方阵的一个特征值,则由方程可求得非零解特征向量上页下页本节例1求矩阵解5.1矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量.对应的全部特征向量为上页下页本节5.1矩阵特
3、征值与特征向量对应的全部特征向量为上页下页本节例2求矩阵解5.1矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为上页下页本节例3求矩阵解5.1矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为上页下页本节例4求n阶数量矩阵解5.1矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系.取单位坐标向量作为基础解系,
4、则矩阵A的全部特征向量为上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量2.矩阵的特征值与特征向量的性质性质1设A是n阶方阵,则A与A′有相同的特征值.证A与A′有相同的特征多项式,因而有相同的特征值.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量性质2n阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值证若A可逆,则若A的任意一个特征值都不等于零,即都不等于零.设n阶方阵A的n个特征根为从而A可逆.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量性质3设A是n阶可逆阵,λ是A的特征值,则证A可逆,是方阵A的特征值,存在非零向量x,使上页下页本
5、节5.1矩阵特征值与特征向量性质4设A是n阶可逆阵,λ是A的特征值,则证是方阵A的特征值,存在非零向量x,使其中k是一个非负整数.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量性质5设证是阶矩阵,若有一个成立,则矩阵的所有特征值的模小于1,即设λ为A的任意一个特征值,其对应的特征向量为x,上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量对矩阵A′的所有特征值,定理成立.A与A′有相同的特征值,对A的所有特征值,定理成立.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量性质6设证是方阵A的s个互不相同的
6、特征值,依次是与之对应的特征向量,则线性无关.用数学归纳法证明.特征向量不为零,因此定理成立.设s－1时,定理成立,即方阵A的s－1个不相同的特征值对应的特征向量线性无关.下面证对于A的s个不相同的特征值上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量对应的特征向量线性无关.(1)(2)上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量线性无关.线性无关.上页下页本节5.1矩阵特征值与特征向量性质7设是方阵A的s个互不相同的特征值,A的对应于λi的线性无关的特征向量为则向量组线性无关.上页下页本节例5设λ1和λ2是矩阵A的两个不同的
7、特征值,对应的特征向解5.1矩阵特征值与特征向量量依次为证明不是A的特征向量.反证法.是A的特征向量,则应存在数λ,使矛盾.上页下页本节5.2相似矩阵定义1设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得则称矩阵A与B相似,记作相似变换矩阵.本章上页下页例1设5.2相似矩阵则P可逆,且有本章上页下页5.2相似矩阵相似具有以下性质:(1)反身性:设A是n阶方阵,则证(2)对称性:(3)传递性:本章上页下页5.2相似矩阵定理1设为n阶矩阵A与B相似,则(1)A与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.(2)A与B有
8、相同的迹.(3)A与B有相同的行列式.(4)A与B的秩相等.本章上页下页5.2相似矩阵(1)存在n阶可逆矩阵P,使得证故A与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.A与B有相同的特征值,(2)一个方阵的迹等于它的所有特征值的和,A与B有相同的迹.(3)取行列式本章上页下页例如5.2相似矩阵本章上页下页5.2相似矩阵定理2设为n阶矩阵A与B相似,则(1)A与B有相同的可逆性.(2)若A
