概率论与数理统计ppt教学课件第18讲

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1、概率论与数理统计第十八讲北京工业大学应用数理学院从前面两节的讨论中可以看到:●同一参数可以有几种不同的估计，这时就需要判断采用哪一种估计为好的问题。●另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡量这个估计优劣的问题。估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准。§7.3估计量的优良性准则设总体的分布参数为，对一切可能的成立,则称为的无偏估计。7.3.1无偏性对于样本X1,X2,,Xn的不同取值，取不同的值)。如果的均值等于，即简记为是的一个估计(注意!它是一个统计量，

2、是随机变量。参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于。“一切可能的”是指：在参数估计问题中，参数一切可能的取值。我们之所以要求对一切可能的都成立，是因为在参数估计问题中,我们并不知道参数的真实取值。自然要求它在参数的一切可能取值的范围内都成立说明：无偏性的意义是：用估计量估计例1：设X1,X2,…,Xn为抽自均值为的总体X的随机样本，考虑的如下几个估计量：例如：若指的是正态总体N(,2)的均值,则其一切可能取值范围是(-∞,∞)。若指的是方差2，则其一切可能取值范围是(0,∞)。

3、定理1：设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,…,Xn为来自总体X的随机样本，记与分别为样本均值与样本方差，即即样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计。证明：因为X1,X2,…,Xn独立同分布，且E(Xi)=μ,所以另一方面，因于是，有注意到前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体N(μ,σ2)中参数σ2的估计,均为很显然，它不是σ2的无偏估计。这正是我们为什么要将其分母修正为n-1，获得样本方差S2来估计σ2的理由。例2：求证：样本标准差S不是总体标准差的无偏估计。证明：因E(S2)=

4、2，所以，Var(S)+[E(S)]2=2，由Var(S)＞0，知[E(S)]2=2-Var(S)＜2.所以，E(S)＜.故，S不是的无偏估计。用估计量估计，估计误差II.均方误差准则是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小。要注意:为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成，即哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。注意：均方误差可分解成两部分:证明：上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，第二部分是估计量的

5、偏差的平方和。注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有:如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优。这种判定估计量优劣的准则称为方差准则。例3：设X1,X2,…,Xn为抽自均值为的总体,考虑的如下两个估计的优劣：我们看到:显然两个估计都是的无偏估计。计算二者的方差：这表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好。前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值(即实轴上点)来估计未知参数。§7.4正态总体的区间估计(一)其优点是：可直地告诉人们“未知参数大致是多少

6、”；缺点是：并未反映出估计的误差范围(精度)。故，在使用上还有不尽如人意之处。而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处。例如：在估计正态总体均值µ的问题中,若根据一组实际样本，得到µ的极大似然估计为10.12。一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数µ的可靠度(也称置信系数)。实际上，µ的真值可能大于10.12，也可能小于10.12。也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数µ。这里的“可靠度”是用概率来度量的，称为置信系数，常用表示置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取0

7、.95或0.99，即根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间，使为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上α分位点的概念。书末附有χ2分布、t分布、F分布的上侧分位数表可供使用。需要注意的地方在教材上均有说明。现在回到寻找置信区间问题上来。7.4.1置信区间的定义定义1：实际应用上，一般取α=0.05或0.01。7.4.2正态总体参数的区间估计根据基本定理(见定理6.4.1)，知也可简记为于是，µ的置信区间为例1:某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如

8、下(单位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求:µ的置信系数为0.95的区间估计。解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22.所求置信区间为当方差未知时，取●µ的区间估计于是，µ的置信系数为1-α的区间估计为也可简记为●σ2