绝对值,二次根式,分式

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1、(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．例1、解不等式：

2、

3、例2、解不等式：你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若，不等式可变为，即＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．

4、综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．1ABx04CDxP

5、x－1

6、

7、x－3

8、图1．1－1解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离

9、PA

10、，即

11、PA

12、＝

13、x－1

14、；

15、x－3

16、表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离

17、PB

18、，即

19、PB

20、＝

21、x－3

22、．所以，不等式＞4的几何意义即为

23、PA

24、＋

25、PB

26、＞4．由

27、AB

28、＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0，或x＞4．练习1．填空题：（1）若，则x=_________；若，则x=_____

29、____.（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________2．选择题：下列叙述正确的是（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则3．化简：

30、x－5

31、－

32、2x－13

33、（x＞5）．4．解下列不等式：（1）（2）（二）二次根式（1）一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的

34、代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二

35、次根式．2．二次根式的意义例1将下列式子化为最简二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2　计算：．解法一：＝　　　　　　　　＝＝　　　　　　　　＝　　　　　　　　＝．解法二：＝　　＝　　＝　　＝　　＝．例3试比较下列各组数的大小：（1）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2，∴＋4＞＋2，∴＜.练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1）（2）2．计算：3．比较下大小：和例4　化简：．解：　＝　＝　＝　＝．例5化简：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵

36、，∴，所以，原式＝．例6已知，求的值．　解：　∵，，　　　　∴．练习1．填空题：（1）＝_____；（2）若，则的取值范围是_____；（3）_____；（4）若，则________．(5)等式成立的条件是。（6）比较大小：2－－（填“＞”，或“＜”）．2．若，求的值．（三）分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．　2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1．若，求常数的值．解：∵，　　∴解得．例2．

37、（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有．（1）证明：∵，∴（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）证明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整数，∴一定为正数，∴＜．例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．练习1.对任意的正整数n，()；2.若，则＝　。　　3．正数满足，求的值．4．计算．习题A组1．

38、填空题：（1）＝________；（2）若，则的取值范围是________；（3）________．2．解不等式：(1)；(2)；(3)．3．已知，求的值．B组1．填空题：（1），，则；（2）若，则；2．已知：，求的值．3．解方程．