2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案（

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1、一二维形式的柯西不等式1-二维形式的柯西不等式（1）定理1：若日，b,c,d都是实数，贝lj{a+t））・（c~+cf）（ac+bd）当且仅当曰d=Z?c时，等号成立.（2）二维形式的柯西不等式的推论：（白+Z?）（c+小2（、层+{鬲'（白，b,c,〃为非负实数）；甘•yjc

2、ac+bd（日，b,c,deR）；寸/+/J•寸F+

3、臼c

4、+

5、/加

6、（臼,b,c,RGR）.2.柯西不等式的向量形式定理2：设a,B是两个向量，贝I」

7、a•0

8、W

9、a・

10、0

11、,当且仅当B是零向量,或存在实数&,使Q=kB时，等号成立.柯

12、西不等式的向量形式中a•a

13、・

14、0

15、,取等号的条件是〃=0或存在实数A,使a=kB.3.二维形式的三角不等式（1）定理3：%i,yi,Xi,乃WR,曲（么寸£+话+寸处+務$~x—xi~7+~y—y-i~.（2）推论：对于任意的xi,X21x-i,yi,比，R,有~必~7+~y—y^~+Vxz—x-iM-乃_-片NyjX］~X2乃.事实上，在平面直角坐标系中，设点A,凭的坐标分别为3,/）,（疋，乃），（血几），根据△PP2的边长关系有P^+PiP^PJ\,当且仅当三点儿代,几共线，并且点R,/在〃点

16、的异侧时，等号成立.翹利用柯西不等式证明不等式22畴+严1,求证：/+冷（卄加可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明.11~2=1，y［方法■规律■小结］利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基木形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件.1.已知/+方2=1,X+y=1,求证：

17、站+方y

18、Wl.证明：由柯西不等式，得(站+妙《&+佛(,+力=1,

19、ax+byWl.2.己知&,及，b,b为正实数，求证：(也+况厶)总+土证明：(51&+也)(彳+

20、另N(日1+日2)13.设日，力，c为正数，求证：p£+用+yjF+d+寸/+S2y[2(<3+Z?+c).证明：由柯西不等式，得苗+〃・、/『+1空臼+方,即寸㊁・yja2+//Na+b.同理边•yjb~+c>b+c,y[2•f+c空卄c,将上面三个同向不等式相加，得(寸才+F+yja+c+yjZ?24-c)N2(卄b+c),・：+y^a+c+寸甘+c，2^2•(a+b+c).利用柯西不等式求最值求函数y=3sina+4cos。的最大值.函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值.由

21、柯西不等式,得(3sina+4cos(32+42)(sin2a+cos2

22、每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.〃〃几題他集^//////1.已知2x+y=1,求2x+y的最大值.解：2x+1X/~y/2~~X~~=£X寸2,+y'=羽.当且仅当心尸平时，等号成立./.2^+y的最大值为萌.2.已矢口2x+3y=l,求4x+9y2的最小值.解：V(4/+9y)(22+22)>(4^+6y)2=4,A4/+9/当且仅当2X2才=3yX2,即2^=3/时，等号成立.又2卄3尸1,得x=t，尸*,故当x=^,时，4,+9

23、.『的最小值为*.3.求函数f(x)=寸/—6+寸12_/的最大值及此时x的值.解：函数的定义域为，由柯西不等式，得Zx_6-~yj12—x)(l'+1")=2(x—6+12—x)—12,即寸x—6+寸12_2*^3.故当寸x—6=pl2—血,即x=9时，函数f{x)取得最大值2羽.课时跟踪检测(九)1.已知无，yWR+,且"=1,贝lj(l+£(l+月的最小值为()A.4B.21C.1D-42=22=41.若日，bGR,且/+力2=io,则a_b的取值范围是（）A.B.C.D.（一&,丽解析：选A&+F）2（臼一方

24、）2,・.・/+/=10,・・・（臼一方FW20.—2&W&—力W2&.2.己知x+y=l,那么2x+3/的最小值是（）562536A—R—c——n—653625解析：选B（2,+3./）M（寸［托（x+y）r=6,39ft当且仅当y=~吋，等号成立，即2/+3y2^-3.函数尸yjx—5+2p6—x的最大值是（）A.^/3B.^