《实数的连续性》doc版

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2、界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数(上,下确界)要用确界定...啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊实数的连续性啊啊啊啊

3、啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊第四章实数的连续性极限理论问题首先是极限的存在问题。一个数列是否极限，不仅与数列本身的结构有关，

4、而且也与数列所在的数集有关。如果在有理数集上讨论极限，那么单调有界数列就可能不存在极限。例如，单调有界数列就不存在极限，因为它的极限不是有理数。从运算来说，有理数集关于极限运算不封闭。即有理数列的极限不一定还是有理数。如果在实数集上讨论极限，情况就好得多。这对任何单调有界数列都存在极限，即§2.2的公理。从运算来说，实数集关于极限运算是封闭的。这个性质就是实数的连续性。实数的连续性是实数集有别与有理数集的重要特征，是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了巩固的基础。描述实数的连续性有多种不同的方法，本章是在§2.2的公理基础上，证明与公理等价的其它几个关于实数的连续性定理

5、。实际上，这几个定理，可任选一个作为公理，然后推出其它定理。§4.1实数的连续性定理一.闭区间套定理定理1设有闭区间列满足:(1);(2).则.用公理证明闭区间套定理。由条件知数列单调增加有上界，数列单调减少有下界。9关于这个定理作两点说明：（1）要求闭区间这个条件是重要的，若为开区间列，则定理的结论不一定成立。如：，显然有,但。如果开区间列是严格包含：，且，则定理的结论还是成立的。（2）若，但，此时有。此定理给出通过逐步缩小范围，找出所求点的一种方法。例如下面的确界定理，就可用此定理来证明。二．确界定理定义1设是非空数集，若，且（1）；（2）。则称是数集的上确界，表为。定义2设是非空数集，若

6、，且（1）；（2）。则称是数集的下确界，表为。例1，则。9例2，则。例3是定义在=上的有界函数，证明：例4设，则。例5开区间与闭区间这两个数集有相同的下确界与上确界。例6不存在，。例7整数集无上、下确界。从上面的例子看到，有限集必有上、下确界，而且上、下确界都属于该数集，即最大数与最小数。无限集不一定存在上、下确界，如果存在，也不一定属于该数集。由确界的定义知，有上（下）确界的数集，一定有上（下）界，反之，我们有定理2（确界定理）若非空数集有上（下）界，则数集存在唯一的上（下）确界。证法：用闭区间套定理将所要找的数集的上（下）确界“套”出来。确界定理也是实数连续性的一种描述。有些教科书把它作为

7、公理，首先提出来。一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（上、下确界）要用确界定理。三．有限覆盖定理设I是一个区间（或开或闭），并有开区间集S（S的元素都是开区间，开区间的个数可有限，也可无限）。定义3若，有，则称开区间集S覆盖了区间I。例1，覆盖了，但中找不出有限个开区间将它覆盖。9例2，覆盖了，且可选出有限个开区间将它覆盖。事实上，若I=是有界闭区间，S是I的一个开覆盖，则总