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《概率论与数理统计习题册 第七章 答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十一章马尔可夫莲系别班级姓名学号.作业18马尔可夫过程、马尔可夫链一、从数1，2，3，4，5，6的六个数字中等可能地取出一数，去后还原，如此不断地连续取下去，如在前n次中所取得的最大数j，则称质点在第n步时的位置在状态j，试问（1）这样的质点运动是否构成马尔可夫链？是否是齐次的？（2）写出它的一步转移概率矩阵.解（1）设X为质点第n步时的状态，则{X(n),n≥1}为一随机过程，其状态空间nI={}1,2,3,4,5,6．易见X≤X≤?，且X的值由X与第n次取的数确定，而与12nn−1X，X，?，X无关，即12n−2P{}X=i
2、X=i，?，X=innn−1n−111=P{}
3、X=i
4、X=innn−1n−1所以这样的质点运动构成马尔可夫链，而且是齐次的，因为：pi,j(n)=P{Xm+n=aj
5、Xm=ai}1i（2）当ij<时，p=；当ij=时，p=；当ij>时，p=0.所以它的一步转移ijijij66概率矩阵为⎡111111⎤⎢⎥666666⎢⎥⎢21111⎥0⎢66666⎥⎢⎥3111⎢00⎥P=⎢6666⎥.⎢411⎥⎢000⎥⎢666⎥⎢51⎥⎢0000⎥⎢66⎥⎢⎣000001⎥⎦二、设坛子中有r只红球，t只白球，每次从袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再次放入a只与所取的那只球同色的球，如此不断地取放，令X()ni=表示在第n次取放后坛
6、子有i只红球，试问{(),1}Xnn≥是否为齐次马尔可夫链？为什么？．解注意到X(1nj+)=，即第n+1次取放后坛子中有j只红球，只与第n次取放后坛子中的红球输有关，也就是仅与X(n)=i有关，而与以前若干次取方无关，即{X(n),n≥1}是马尔可夫链，但注意X(n)=i时X(1nj+=)的条件概率为：-105-第十一章马尔可夫莲⎧i,,j=ia+⎪⎪rtna++pnPXn()=+{(1)==jXni
7、()}=⎨ij⎪1,−ij=i.⎪⎩rtna++显然，转移概率p()n与绝对时间n有关，因而X()n不是齐次的，即此链{X(n),n≥1}是非ij齐次马尔可夫链.三、一个质点在
8、圆周上作随机游动，圆周上共有N格，质点以概率p顺时针游动一格，以概率qp=−1逆时针游动一格.试用马氏链描述游动过程，并确定状态空间及一步转移概率矩阵.(参考陕西人民教育出版社，概率论与数理统计辅导，P212)四、设一随机系统状态空间I={1,2,3,4}，记录观测系统所处状态空间：4，2，3，1，4，3，1，1，2，3，2，1，2，3，4，4，3，3，1，1，1，3，3，2，1，2，2，4，4，4，2，3，3，2，1，1，2，3，4，1.若该系统可用马氏链描述，描述其转移概率矩阵.(参考陕西人民教育出版社，概率论与数理统计辅导，P211)五、设服务系统由一个服务员和只可以容纳
9、两个人的等候室依次排队．假定一个需要服务的顾客到达系统时发现系统内已有3个顾客（一个正在接受服务，两个在等候室排队），则该顾客即离去．设时间间隔∆t内将有一个顾客进入系统的概率为q，有一原来被服务的顾客离开系统（即服务完毕）的第11.5题图概率为p．又设当∆t充分小时，在这时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的．再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的．试用马氏链描述这个服务系统，并求其一步转移概率矩阵．(参考陕西人民教育出版社，概率论与数理统计辅导，P214)-106-第十一章马尔可夫莲系别班级姓名学号.作业19多步转移概率的确定、遍历性11一、设任意相继的两
10、天中，雨天转晴天的概率为，晴天转雨天的概率为，32任一天晴或雨是互为逆事件．以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，X表示第nn天的状态（0或1）．(1)写出马氏链{,1Xn≥}的一步转移概率矩阵．n(2)若已知5月1日为晴天，试问5月3日为晴天，且5月5日为雨天的概率等于多少？(3)试求今天为晴天，而第四天（明天算第一天）为雨天的概率.．解(1)X的状态空间I={1,0}，由题意知n⎧1,i=0,j=0，⎪2⎪⎪1,i=0,j=1，{}⎪2pij=PXn=j
11、Xn−1=i=⎨1⎪,i=1,j=0，⎪3⎪2⎪,i=1,j=1．⎩3从而一步转移概率矩阵为⎡11⎤⎢⎥22P=⎢⎥⎢12
12、⎥⎢⎣33⎥⎦(2)因为⎡57⎤⎢⎥21212P=⎢⎥，⎢711⎥⎢⎣1818⎥⎦5所以已知5月1日为晴天，5月3日为晴天的概率为p(2)=；已知5月3日为晴天，5月500127日为雨天的概率等于p(2)=，已知5月1日为晴天，5月3日为晴天，且5月5日为雨天0112的概率PX{351===0,X1
13、X0}===PX{310
14、X0}PX{531===1
15、X0,X0}-107-第十一章马尔可夫莲===PX{310
16、X0}PX{53==1
17、X0}5735=pp(2)(2)=⋅=000112121
