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1、非线性电路理论及应用报告基于MATLAB的Lorenz系统仿真院系姓名班级学号Lorenz系统混沌分析Lorenz系统由美国气象学家Lorenz在1963年提出，他通过对对流实验的研究，得到了第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，该系统描述了从水桶底部加热时，桶内液体的运动情况。加热时，底部的液体越来越热，并开始逐渐上升,产牛对流，当提供足够的热量并保持不变时，对流便会以不规则的和湍流的方式运动。这个系统经过傅里叶分解、截断，并无量纲化，便得到一个三维的常微分方程组，如下：(1)^=cx-xz-ydz>^=xy~b
2、z该方程组即为Lorenz系统的数学模型。一、理论分析(1)对称性和不变性式(1)在变换(%,y,z)(-x,-y,z)下具有不变性，即Lorenz系统关于z轴具有对称性。显然z轴本身也是系统的一条解轨迹线，即，若匸0时有x=y=0,则对于所有的t>0有x=y=0o进一步，当tt8时，z轴上所有的解轨迹均趋于原(2)耗散性和吸引子的存在性Lorenz系统在条件cvl下关于原点是全局、一致和渐近稳定的。为证明这一点，不妨选取如下的Lyapunov函数V(x,y,z)=
3、(x2+ay2+az2)所以有dV—=x[a(
4、y—%)]+ay(ex—xz—y)+az(xy—bz)at=—(%—y)2—(尢2十y2)—a^z20,所以系统(1)始终是耗散的，并以指数形式—=g-@+b+l)⑹dt收敛。也就是
5、说，一个初始体积为V。的体积元在吋间tU寸收缩为体积元尬-(Q+b+l)t。也就意味着，当tT8时，包含系统轨线的每个体积元以指数速率-(a+b+1)收缩到0o因此，所有系统的轨线最终会被限制在一个体积为0的集合上，并且它的渐近动力行为会被固定到一个吸引子上。(1)平衡点和分岔特性当C>1时，由a(y—%)=0ex—xz—y=0(7)xy—bz=0得Lorenz系统具有如下三个平衡点：S_o=(0Q0)S+=Qb(c—1),Jb(c—1),c—1)当c=l时，我们能够观察到原点出现叉形分岔。若参数a和b固定，而c
6、变化，则两个非平凡平衡点S+和S_对称地落在z轴的两边。在原点处线性化Lorenz系统，其雅克比矩阵为—aa0Jo=c-10.00-b.相应的特征多项式为f(A)=(2+b)[久$+@+i)q+a(i—c)]令fS)=0,求得其特征值为右=—b久2,3=一竽±扌J(a+1)2+4a(c一1丿。因此，若C>1,几i=-b,A2>0>A3,故零解不稳定，且S。为三维空间中的鞍点；若cvl,则三特征值均满足ReW<0,故原点是唯一的平衡点并且是汇点。对于平衡点S+和S_,它们的差别只是x,y差一负号，Lorenz方程的
7、对称性可知，S+和S_的稳定性相同。此两点的雅克比矩阵为/1=_±Jb(c-1)土Jb(c-1)+Jb(c—1)—b(10)相应的特征多项式为(H)f(A)=+(a+b++b(a+c)久+2ab(c—1)注意到由于a+b+l>0,特征多项式的系数均为正，因此对于任意久>0,有f(2)>0o所以，当ReW>0时，其对应特征方程有一对具有正实部共轨复根，则相应的平衡点是不稳定的。若c=l,则对应特征方程的特征值为久=0,—b,—(a+l)。当cJl时，第一个特征值满足久〜-2空也。所以，当c从上趋于1吋，在极限状态下
8、，系统将a+c失去稳定性。在c从1逐渐增大的过程中，仅仅当ReW=0,不稳定性才可能出现，且此时特征根右,2=±加，其屮3为实数。(12)再由式(11)可知，三次多项式f的三个根之和为久1+久2+久3=—(Q+b+1)因此,在稳定性的边缘，有久i,2=±®i，久3=-(a+b+1)。此时得到下面等式(13)0=/(—(a+b+1))=bc(a—b—1)—ab(a+b+3)a>b+l且lVcVq这样,a(a+b+3)C/ia-b-l只有当C>1时，不稳定性才可能出现。因此，非平衡点S+稳定的充分必要条件是(14)其
9、中qGCl,8丿是Hopf分岔值。事实上，若岀现不稳定的情况，则随着参数c从1逐渐增大，可以观察到如下现彖：入1从0逐渐减小直到与入2相等(此时心=A2<0)；然后它们变成一个复共辘对，其实部从负数逐渐增加并且穿过0；但入3对于所有的O1保持为负数。因此，对于平衡点S+和S_,当它们变为不稳定时，必然出现一个负实根和一对正实部的共辘虚根。此时，这两个平衡点都是三维空间中的
