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《大学经典课件之高等数学——9-1二重积分的概念及性质new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章重积分第九章第一节二重积分的概念及性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质机动目录上页下页返回结束1.多元函数积分学概况（按积分区域分类）积分区域积分区域一型：对弧长定积分曲线积分推广二型：对坐标推广式公林Stokes公式格一型：对面积二重积分D曲面积分推广二型：对坐标推广三重积分高斯公式Ω机动目录上页下页返回结束一、问题的提出１．曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.z=f(x,y)柱体体积=？特点：曲顶.D机动目录上页下页返回结束1.曲顶柱体的体积SS:z=f(x,y)z元素法元素法1任意
2、分割区域D,化整为零2以平代曲0yΔσiDx机动目录上页下页返回结束1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)z元素法元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲ΔV≈f(x,y)Δσiiiin3积零为整V≈∑f(xi,yi)Δσii=10y.ΔσiDx机动目录上页下页返回结束1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)z元素法元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲ΔV≈f(x,y)Δσiiiin3积零为整V≈∑f(xi,yi)Δσii=14取极限令分法无限变细0nyV=lim∑f(xi,yi)Δσii=1Δ.σiDx机动目录上
3、页下页返回结束1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)z元素法元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲ΔV≈f(x,y)Δσiiiin3积零为整V≈∑f(xi,yi)Δσii=14取极限令分法无限变细0nyV=lim∑f(xi,yi)Δσii=1Δσi.Dx机动目录上页下页返回结束1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)z元素法元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲VΔV≈f(x,y)Δσiiiin3积零为整V≈∑f(xi,yi)Δσii=14取极限令分法无限变细0nyV=lim∑f(xi,yi)Δσii=1..x机动
4、目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,其面密度为μ(x,y)∈C,计算该薄片的质量M.若μ(x,y)≡μ(常数),设D的面积为σ,则yM=μ⋅σ若μ(x,y)不是常数,仍可用D“分割,近似,求和,取极限”的方法解决.x1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域Δσ,Δσ,L,Δσ,12n相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2)“近似”在每个Δσk中任取一点(ξk,ηk),则第k小块的质量ΔM≈μ(ξ,η)Δσ(k=,2,1L,n)kkkky3)“求和”nnM=∑ΔMk≈
5、∑μ(ξk,ηk)Δσkk=1k=14)“取极限”x(ξk,ηk)Δσ令λ=max{Δσ的直径}kk1≤k≤nnM=lim∑μ(ξk,ηk)Δσkλ→0k=1机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同“分割,近似,求和,取极限”(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积:nV=lim∑f(ξk,ηk)Δσkλ→0k=1平面薄片的质量:nM=lim∑μ(ξk,ηk)Δσkλ→0k=1机动目录上页下页返回结束二、二重积分的概念定义设函数f(x,y)在平面有界闭区域D上有定义。将闭区域D任意分成n个小闭区域Δσ
6、，Δσ,L，12Δσ，其中Δσ表示第i个小闭区域，也表示它的面积，nin在每个Δσi上任取一点(ξi,ηi)，做和式∑f(ξi,ηi)Δσi，i=1记λ=max{Δσ的直径}。若不论小区域怎样分以及点i1≤i≤nn(ξi,ηi)怎样取，和式的极限lim∑f(ξi,ηi)Δσi都存在且λ→0i=1机动目录上页下页返回结束相等，则称函数f(x,y)在区域D上是可积的，且称此极限值为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为∫∫f(x,y)dσ，即Dn∫∫f(x,y)dσ=lim∑f(ξi,ηi)Δσiλ→0Di=1被积表达
7、式被积表达式面积元素面积元素积分区域积分区域被积函数被积函数积分变量积分变量积分和积分和机动目录上页下页返回结束对二重积分定义的说明：（1）在二重积分的定义中，对积分区域D的划分及点的取法是任意的。（2）若f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在闭区域D上可积。（3）若f(x,y)在闭区域D有界且分片连续，则f(x,y)在闭区域D上可积。（4）曲顶柱体的体积是V=∫∫f(x,y)dσD平面薄片的质量m=∫∫μ(x,y)dσD机动目录上页下页返回结束二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函
8、数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．当被积函数既有大于零的部分也有小于零的部分时，二重积分是大于零部分的柱体体积和小于零部分的柱体体积的代数和．机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质假设下面所涉及到的函数在积分区域上都是可积的性质１当k为常数时，∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ.DD性质２∫∫[
