大学高等数学经典课件9-1

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1、(重积分)第九章重积分第一节二重积分的概念与性质１.曲顶柱体的体积xyz0z=f(x,y)i(i,i)上的有界闭区域D，侧面是以D的边界为准线而母线平行于z轴的柱面，顶是曲面z=f(x,y),f(x,y)0,且在D上连续。曲顶柱体：底是xoy平面如何求曲顶柱体的体积？显然，若高不变，即曲顶柱体为平顶柱体，则V=底面积高若高为变高，则可采用类似于求曲边梯形面积的方法来求此曲顶柱体的体积。首先，用一组曲线网将区域D分成n个小闭区域，1，2，，n小闭区域的面积也记作i。以小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分

2、成n个细曲顶柱体。由于f(x,y)连续，因此当小区域i的直径（即区域中任意两点间距离的最大值）很小时，f(x,y)在i上的变化也非常小，这时的细曲顶柱体可近似看成平顶柱体。在i中任取一点(i,i)，以f(i,i)为高而底为i的平顶柱体的体积为f(i,i)i将区域分割的越细，这个近似值就越接近于曲顶柱体的体积。因此，将区域D无限细分，即令n个小区域的直径中的最大值则以i为底的细曲顶柱体体积Vi所以曲顶柱体的体积V=(i=1,2,…,n)（记为）趋于0时，上述和式的极限就是曲顶柱体的体积，即:2.平面薄片的质量设有一质量非均匀分布的

3、薄片占有xoy面上的有界闭区域D,其面密度为(x,y),(x,y)>0,且在D上连续,现计算它的质量M。若薄片是均匀的，即它的面密度是常数，则它的质量可以用下式计算：质量＝面密度面积现面密度是变量，用类似于求曲顶柱体体积的方法来处理。将D分割成n个小闭区域1,2,,n，i也表示第i个小闭区域i的面积。当i的直径很小时，由于(x,y)连续，相应的小薄片可近似地看作是均匀的。在i上任取一点(i,i)，则小薄片的质量：xyoyD所以，于是，以上两个问题虽然实际意义不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限，于是从上述数量关系我们抽象出

4、二重积分的定义。定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，2，，n其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个i上任取一点(i,i)，作乘积f(i,i)i，如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分。记作(*)这里，称f(x,y)为被积函数，f(x,y)d为被积表达式，d为面积元素，x,y为积分变量，D为积分区域,称为积分和。因为区域D的划分是任意的，故可用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，这时的小闭区域i为矩形小区

5、域(i=xiyi)所以在直角坐标系中，面积元素d也记作注意：当函数f(x,y)在区域D上连续时,则(*)式右端的和的极限必存在，即连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在。以后在计算二重积分时，总假定f(x,y)在D上连续。几何意义：略。dxdy，于是有二、二重积分的性质性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即(K为常数)性质2函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。即性质3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分之和。即若D=D1D2，则性质4如果在D上，f(x,y)

6、=1，为D的面积，则性质5如果在D上，f(x,y)x,y，则有不等式特别地，由于又有不等式性质6设M，m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大及最小值，是D的面积，则有性质7（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得下式成立：例1:估计其中D是矩形0x1，0y1。解：设f(x,y)=x+xy-x2-y2，令得驻点：(2/3，1/3)，f(2/3,1/3)=1/3,在边界上，有在边界上，有在边界上，有在边界上，有而所以：与的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(

7、2,0).例2.比较积分11解：三角形斜边方程为:x+y=2在D内有:故ln(x+y)<1于是因此