第五节电磁场边值关系

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1、第五节电磁场边值关系麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦氏方程组不再适用。1在场作用下，介质界面上一般出现面束缚电荷和电流分布，这些电荷电流的存在又使得界面两侧场量发生跃变。因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系。2图(a)所示的介质与真空分界的情形，在外场E0的作用下，介质界面上产生面束缚电荷，这些束缚电荷本身激发的电场在介质内与E反向，0在真空中与E同向。束缚电荷激发的场子与外0场E叠加后得到总电场如图(b)所示。两边的电0场E和E在界面上发生跃变。123边值关系就是描述两侧

2、场量与界面上电荷电流的关系。由于场量跃变的原因是面电荷电流激发附加的电磁场，而积分形式的麦氏方程可以应用于任意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此研究边值关系的基础是积分形式的麦氏方程组。4一、法向分量的跃变麦氏方程组的积分形式为vvdvvIf为通过曲面S的总自∫E⋅dl=−∫B⋅dS,LdtS由电流，Q为闭合曲面fvvdvvH⋅dl=I+D⋅dS,内的总自由电荷。把这∫Lf∫Sdtvv组方程应用到界面上可D⋅dS=Q,∫fSvv以得到两侧场量的关∫B⋅dS=0.S系。5vvεE⋅dS=Q+Q0∫fP把总电场的麦氏方程应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。上式左边的面积分遍及柱体的上下底和

3、侧面，Q和Q分别为柱体内的总自由电荷和总束缚fp电荷，它们等于相应的电荷面密度σ和σ乘以底面fp积∆S。当柱体的厚度趋于零时，对侧面的积分趋于零，对上下底面积分得(E−E)。2n1nε(E−E)=σ+σ602n1nfP如右图：通过薄层右侧面进入介质2的正电荷为P⋅dS，由介质1通2过薄层左侧进入薄层的正电荷为P⋅dS，因此，薄层内出现的净余2电荷为−(P−P)⋅dS，以σ表示21P束缚电荷面密度，有vvvσPdS=−(P−P)⋅dS217vvv由此，σP=−n⋅(P2−P1)n为分界面上由介质1指向介质2的法线。P−P=−σ2n1nPD=εE+P,D=εE+P两式相加，利用1n01n1n

4、2n02n2nD−D=σ2n1nf由此看出，极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相关，D的跃变与自由电荷n面密度相关，E的跃变与总电荷面密度n相关。由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况下只给出自由电荷，因而实际上主要应用关于D的边值关系n式。D的跃变式可以较简单的由麦氏方程n组的积分形式直接得出。在扁平状区域上应用vvD⋅dS=Q∫fS由于侧面的积分趋于零，得(D−D)∆S=σ∆S2n1nf对于磁场B，在边界上的扁平状区域上应用积分形式的麦氏方程vv∫B⋅dS=0.SB=B2n1n10二、切向分量的跃变1面电流分布面电荷分布使界面两侧电场法向分量

5、发生跃变，我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向分量生跃变。我们先说明表面电流分布的概念。面电流实际上是在靠近表面的相当多分子层内电流的平均宏观效应。11定义电流线密度α，其大小等于垂直通过单位横截线的电流。如图界面的一部分，其上有面电流，其线密度为α，∆l为横截线，垂直流过∆l段的电流为∆I=α∆l122切向分量的跃变由于存在面电流，在界面两侧的磁场强度发生跃变。如图，在界面两旁取一狭长形回路，回路的一长边在介质1中，另一长边在介质2中。长边∆l与面电流α正交。在狭长形回路上应用麦氏方程vvdvvH⋅dl=I+D⋅dS∫f∫LdtS13取回路上下边深入到足够多分子层内部，使面电流完全

6、通过回路内部。从宏观来说回路短边的长度仍可看作趋于零,因而有vvH⋅dl=(H−H)∆l∫L2t1t其中t表示沿∆l的切向分量。通过回路内的总自由电流为I=α∆lff14由于回路所围面积趋于零，而∂D/∂t为有限量，因而dvv∫D⋅dS→0dtvvdvvH⋅dl=I+D⋅dS把这些式子代入∫Lf∫Sdt得H−H=α2t1tf15上式可以用矢量形式表示。设∆l为界面上任一线元，t为∆l方向上的单位矢量。流过了∆l的自由电流为vvvvvvI=n×∆l⋅α=α×n⋅∆lfffvvdvv对于狭长形回路用∫H⋅dl=If+∫D⋅dSLdtSvvvvvvvvv得H⋅dl=(H−H)⋅∆l=If=αf

7、×n⋅∆l∫21L16由于∆l为界面上任一矢量，因此vvvv(H−H)=αf×n21//式中//表示投射到界面上的矢量。上式再用n矢乘注意到vvvvvvn×(H−H)=n×(H2−H1)21//vvn⋅α=0fvvvvn×(H−H)=αf21这就是磁场切向分量的边值关系。17vvdvv同理，应用∫E⋅dl=−∫B⋅dS,LdtS可得电场切向分量的边值关系：vvvn×(E2−E1)=0此式表示界面两侧E的切向分量连续。18以后在公式中