凸函数及其在不等式证明中的应用_尚亚东

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1、第4卷第1期广州大学学报(自然科学版)Vol.4No.12005年2月JournalofGuangzhouUniversity(NaturalScienceEdition)Feb.2005文章编号:1671-4229(2005)01-0001-06凸函数及其在不等式证明中的应用尚亚东,游淑军(广州大学数学与信息科学学院,广东广州510405)摘要:凸性是一种重要的几何性质,凸函数是一种性质特殊的函数,凸集和凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学等领域都有着广泛的应用.借助凸集引入凸函数概念,介绍了凸函数的基本性质,特别研究了凸函数的Jensen不等式在不等式证明中的应

2、用.关键词:凸性;凸集;凸函数;Jensen不等式中图分类号:O174.13;O178文献标识码:A凸性是一种几何性质,也是一种代数性质.凸Kx1+(1-K)x2IA函数则是一类性质独特的函数.凸性和凸函数在或不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数Px1,x2IA,[x1,x2]

3、a

4、定义和凸函数的重要性数,这里a、b满足-][a

5、xI(a,b),f(x)[A}(1)明了一些应用初等数学知识难以证明的初等不等称为函数f的上图(epigraph).式,显示出凸函数在不等式证明中的重要性.最后进一步研究了凸函数在泛函分析中的应用.1凸函数的定义及性质为了从较高的起点来给出凸函数的定义,清图1f(x)的上图晰地看出凸函数与凸性的联系,先给出凸集的两Fig.1Epigraphoff(x)个定义.定义1[1]某集合称为凸集,是指连接该集合由图1可以看出,函数的上图

6、就是函数的图像再并上图像上方的所有点.中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合[1]中.定义5如果函数fB(a,b)yR的上图定义2[1]设X是一个线性空间,xepif是凸集,则f称为(a,b)上的凸函数.f称为1,x2IX为任意两点,称[x1,x2]={xKIX

7、xK=Kx1+(1-(a,b)上的凹函数则是指-f是(a,b)上的凸函数.K)x2,KI[0,1]}为连接x1,x2的闭线段.由凸函数的定义可知:函数图像上的两点的定义3[1]设X是一个线性空间,子集A

8、收稿日期:2004-04-12基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034)作者简介:尚亚东(1963-),男,教授,博士,主要从事非线性偏微分方程研究.2广州大学学报(自然科学版)第4卷Px1,x2I(a,b),x1+x2f(x1)+f(x2)f()[,22那么f是(a,b)上的凸函数.关于凸函数的导数性质,有如下结果.[2]命题3f(x)为区间(a,b)上的凸函数等价于下列条件之一:图2凸函数的几何直观图i)Px1,x2I(a,b),x1

9、)f(x2)-f(x0)[,从几何直观上讲,也可采用如下直观描述性x1-x0x2-x0定义:即对于任何x0I(a,b)来说,f在x0处的左差商(1)如果某函数图像上任意两点间的弧段总不大于右差商.在这两点连线的下方,则相应的函数称为凸函数.ii)Px1,x2I(a,b),x1

10、分变量差分减小时不增.必要条件为iii)Px1,x2I(a,b),x1