数学教育第二十四期

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1、數學教育第二十四期(6/2007)化圓為方——球體體積與牟合方蓋柯志明引言一般第三學習階段的數學教科書，都沒有提及球體體積公式V=43r的由來，最多只是建議一些實驗活動讓學生驗證公式（陳、梁、郭，32001，61頁）。一般都認為球體體積的推導必須用到微積分，但其實有一些球體體積公式的證明是可以向低年級學生講解的。本文旨在介紹兩個低年級學生也能明白的球體體積公式證明，並比較它們之間的關係。本文圖片均以Cabri3D製作，並能以不同角度觀察及動態地展示。讀者可先到Cabri的網頁www.cabri.com下載及安裝Cabri3D的試用版

2、，然後到http://hk.geocities.com/orchiming/volsphere下載這些動態圖片的簡報。西方的證明圖一的證明來自Eves（1990，388–389頁）。書中並無明確提及那一1位數學家最先提出這個證明，但有網頁指出這個證明源自希臘。圖一考慮一個半球體，及一個相同底及高的圓柱體，並從圓柱體挖走一個222相同高度的倒轉直立圓錐。用畢氏定理可以得出x=r–h。所以在高度h，222半球體的橫切面面積=x=(r–h)2222右邊立體的橫切面面積=r–y=r–h1http://mathcentral.ure

3、gina.ca/QQ/database/QQ.09.01/rahul1.html12EduMath24(6/2007)所以兩個立體於任何一個高度的橫切面面積相等。我們可以想像一個立體是由一疊薄紙所組成，而每張紙就是一個橫切面。若果兩疊紙每一張的面積都相等，而紙張的數目又一樣（高度相等），那麼兩疊紙的體積，亦即是兩個立體的體積，也應該相等了。所以，半球體體積=圓柱體體積–圓錐體積122=rrrr322=r343所以，球體的體積是r。3中國的證明為了求出球體的體積，三國時期的劉徽考慮一個稱為「牟合方蓋」的立體（蕭，1993）

4、。首先想像球體由一疊圓形所組成，然後每個圓形被它的外接正方形代替（圖二(a)），這樣得出的立體就是牟合方蓋了（圖二(b)）。牟合方蓋也可以看成是兩個大小一樣垂直相交的圓柱體（圖三(a)）的重疊部份（圖三(b)）。(a)(b)圖二(a)(b)圖三13數學教育第二十四期(6/2007)由於球體和牟合方蓋於任何一個高度的橫切面面積比率都是:4，而且它們的高度相等，所以它們的體積比率也是:4。若果能夠求出牟合方蓋的體積，球體的體積也可以得出來了。後來南北朝的數學家祖沖之、祖暅父子用以下的方法求出了牟合方蓋的體積：考慮八分之一個牟合方蓋，並

5、把它放在一個邊長等於球體半徑r的正方體內。祖氏父子考慮正方體和八分一牟合方蓋之間的空間，及另一個有相同的底和高度的倒轉方錐體（見圖四）。這個方錐體中國古時稱為「陽馬」。圖四2如圖四，考慮兩個立體於高度h的橫切面的面積。由畢氏定理，x=22r–h，所以，222222左邊的橫切面面積=r–x=r–(r–h)=h22右邊的橫切面面積=y=h所以，兩個橫切面面積相等，而立方和八分一牟合方蓋之間的空間體積也該等於「陽馬」的體積了。剛好三個「陽馬」可合成一個正方體（圖13五），所以它體積是r。3圖五14EduMath24(6/2007)1133所

6、以，r牟合方蓋體積=r83163牟合方蓋體積=r3因為球體與牟合方蓋的體積比率為:4，所以球體體積=牟合方蓋體積443=r3存異求同比較以上兩個證明，似乎第一個證明比較簡潔易明。中國的證明雖然十分巧妙，但一來牟合方蓋這個立體本身比較特別，二來證明比較轉折（不是直接求牟合方蓋的體積，而是求牟合方蓋以外的空間的體積），所以以前我任教中三時也只用第一個證明向學生解釋球體體積公式，而學生也大致明白。細觀以上兩個證明，其實關鍵的步驟部份十分類似：大家都是引入一個倒轉錐體，然後比較橫切面。於是突然靈機一觸：何不像圖一那樣直接計算牟合方蓋

7、的體積？於是筆者嘗試用祖沖之及祖暅的意念，得出圖六的證明：圖六考慮半個牟合方蓋，及一個有相同底及高、但中間被挖走了一個倒轉正方錐的正方柱體。與前述的證明一樣，兩個立體的橫切面面積相同，所以體積也相同，所以：15數學教育第二十四期(6/2007)1牟合方蓋=正方柱體體積正方錐體積2122=(2r)r(2r)r383=r3161633所以牟合方蓋的體積為r，而球體的體積則等於r=34343r。3這個證明美中不足的地方是用到了錐體體積的公式，這是祖氏父子的方法所不需的。為了保留祖氏方法的精髓，可以只考慮牟合方蓋的八分之一，先證

8、明八分之一個牟合方蓋與正方體減去一個正方錐的體積相等（圖七），再展示這立體的體積等於正方體的三分之二（圖八），這樣便可不需錐體體積公式而求得牟合方蓋的體積，從而得出球體的體積了。圖七圖八16EduMath24(6/200