第49届IMO预选题解答

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1、18中等数学竞赛之窗第49届IMO预选题(一)李建泉译(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所,300387)11代数部分fx+=fy+.①f(y)f(x)1.本届IMO第4题.证明:存在一个正整数不属于f的值域.2.本届IMO第2题.7.证明:对于任意的正实数a、b、c、d,3.设SAR是一个实数集,称从S到S都有的函数对(f,g)为一个“西班牙组合”,满足(a-b)(a-c)(b-c)(b-d)++a+b+cb+c+d以下条件:(c-d)(c-a)(d-a)(d-b)(i)两个函数都是严格增加的,即对于任+≥0,c+d+ad+a+b意的x、yS,且x

2、(x)

3、1)=-1,且对于所有满足2>m的非负下面证明:对任意的非负整数k和任意整数m、n,有的正整数x,有gk(x)≤f(x).nnf(2+m)=f(2-t(m))-f(m).对k用数学归纳法.证明:对于任意的非负整数p,均有当k=0时,由x≤f(x)知结论成立.f(3p)≥0.假设k时结论成立,在归纳假设中用5.已知正实数a、b、c、d满足abcd=1,g2(x)代替x,并应用条件(ii)可得abcda+b+c+d>+++.g(gk+1(x))=gk(g2(x))bcda≤f(g2(x))

4、+满足对任意的x、ygk+1(x)

5、+1k2k+2kxk=gk(x0),x0

6、).结论成立.(2)存在.假设k-1时结论成立.2k+111考虑f(2-t(m)),可得设fa-=a+1-,bb2k+12k2kf(2-3)=f(2+(2-3))2k2k11=f(2-2)-f(2-3)ga-=a-a.bb+3=-3k-1+3k-1=0,则f和g严格递增,且满足f(22k+1-2)=f(22k+(22k-2))11=f(22k-1)-f(22k-2)fgga-=a+1-abb+2×3k-1k-1k=2×3+3=3,112k+12k2k

7、k-1k=-3-2×3=-3.4.由已知条件可知,对于每个正整数n,2k+2考虑f(2-t(m)),可得f(n)是唯一确定的,且f(1),f(2),⋯的符号2k+22k+12k+1f(2-3)=f(2+(2-3))变化看起来也毫无规律.不过只要直接计算2k+12k+1=f(2-1)-f(2-3)n所有形如f(2-t(m))的值就足够了.kk=-3-0=-3,ka2k+22k+12k+1事实上if(