一阶非线性脉冲微分方程边值问题解的存在性

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1、2010年11月四川师范大学学报(自然科学版)Nov．，2010第33卷第6期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)Vol．33，No．6一阶非线性脉冲微分方程边值问题解的存在性12杨丹丹，李刚(1．淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安223300;2．扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002)摘要:利用Schaefer不动点定理，研究了一阶非线性脉冲微分方程边值问题u'(t)=f(t，u(t))，t∈［0，T］{tk}，k=1，…，m，+－{u(tk)=u(tk)+Ik(u(tk))，k=1，…，m，u(

2、0)=βu(T)解的存在性，所得结果推广了已有的结论．关键词:解的存在性;脉冲微分方程;边值问题;Schaefer不动点定理中图分类号:O175．14文献标志码:A文章编号:1001－8395(2010)06－0763－05doi:10．3969/j．issn．1001－8395．2010．06．0091预备知识和引理nnT，f:［0，T］×R→R在(t，u)∈(［0，T］{tk})×n+－R连续，u(tk)=limu(tk+h)和u(tk)=limu(tk脉冲微分方程起源于物理学、人口动力学和经h→0+h→0+济等研究领域，是人们理解现实世界数学模型的重－h)分

3、别代表u(t)在t=tk的右极限和左极限．要工具［1－10］．因此，脉冲微分方程的研究受到数学注意到，取k=1，β=1时，(2)式简化为(1)工作者的广泛关注［11－17］．2007年，J．Chen等［18］研式．本文的主要结果不仅推广了文献［13］的结论，究了带脉冲的一阶非线性周期边值问题而且在允许非线性项‖f(t，p)‖关于‖p‖超线性x'(t)=f(t，x)，t∈［0，N］，t≠t1，增长方面，补充和扩展了文献［20－22］的结论．x(t+)=x(t－)+I(x(t))，(1)本文利用著名的Schaefer不动点定理研究带有{1111边值问题的一阶脉冲微分方程

4、(2)的解的存在性．x(0)=x(T)，n定理1(Schaefer)令E是赋范线性空间，H:E其中，N＞0，t1∈(0，N)，t1固定，f:［0，N］×R→→E是一个紧算子．若集合nnR，(t，u)∈(［0，N］{t1})×R连续，且在t=t1S:={x∈E

5、x=λHx，对于某个λ∈(0，1)}nn点的脉冲由连续函数I1:R→R给出．作者利用微有界，则H至少存在一个不动点．分不等式和Schaefer不动点定理研究了脉冲微分令C(［0，T］是所有从［0，T］到R连续函数所方程(1)的解的存在性．他们的结果补充和扩展了组成的Banach空间，赋予范数文献［19－20］

6、，允许非线性项‖f(t，p)‖关于‖u‖=sup{‖u(t)‖:t∈［0，T］}．‖p‖超线性增长．首先，引进关于脉冲微分方程的一些概念．本文中受文献［18］的启发，本文研究如下一阶脉冲非假设线性边值问题:+－f(tk):=limf(t，u)，f(tk):=limf(t，u)u'(t)=f(t，u(t))，t∈［0，T］{tk}，k=1，…，m，t→tk+t→tk－+－都存在，且f(t－，u)=f(t，u)．引入Banach空间u(tk)=u(tk)+Ik(u(tk))，k=1，…，m，11nu(0)=βu(T)，(2)PC(［0，N］;R)，定义为nn其中，β∈

7、R，tk∈［0，T］，0=t0＜t1＜…＜tm＜tm+1=PC(［0，T］;R)={u∈C(［0，T］{tk}，R)，收稿日期:2009－04－08基金项目:国家自然科学基金(10771212)资助项目作者简介:杨丹丹(1982—)，女，博士，主要从事非线性泛函分析及其应用的研究764四川师范大学学报(自然科学版)33卷+－Mt1－Mt2－u在t=t1左连续，右极限u(t1)存在}，u(t1)e－u(0)+u(t2)e－+Mt1－Mtk赋予范数u(t1)e+…+u(tk)e－=sup+Mtk－1Mt‖u‖PC‖u(t)‖，u(tk－1)e+u(t)e－t∈［0，T

8、］t其中‖·‖是通常的欧式范数．令0=t0＜t1＜…＜u(t+)eMtk=eMsh(s)ds．k∫1n0tm＜tm+1=T，定义Banach空间PC(［0，T］;R)为因此1nnPC(［0，T］;R):={u∈PC(［0，T］;R)，MtMt11nu(t)e=u(0)+I1(u(t1))e+…+u

9、(tk，tk+1)∈C(tk，tk+1;R)，tMtkMs对于k=1，…，m，极限u'(t+)，u'(t－)存在}，Ik(u(tk))e+∫eh(s)ds=kk0范数为u(0)+∑I(u(t))eMti+ii0＜ti＜t‖u‖PC1:=max{‖u(t)‖PC，‖u'