清华大学《信号与系统》第三讲

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1、信号与系统信号与系统陆陆建建华华清华大学电子工程系清华大学电子工程系20020055年春季学期年春季学期第一章要点信号与系统的基本概念信号信号/行为系统基本的信号(阶跃、冲激)dddddtdtdtdtR(t)⇒u(t)⇒δ(t)⇒δ′(t)⇒δ′′(t)?基本的系统(线性时不变系统(LTI)ce(t)+ce(t)cr(t)+cr(t)112211222清华大学电子工程系陆建华FAQ(1)因果系统causal当t<0，e(t)=0⇒t<0，r(t)=0有始系统(2)时不变：响应形式与激励施加的时刻无关e(t)→r(t)e(t−t0)→r(t−t0)(3)奇异函数,广义极限,严格

2、定义3清华大学电子工程系陆建华需要注意的问题∞⎧⎪∫δ(t)dt=11)Dirac定义(狄拉克)⎨−∞⎪⎩δ(t)=0(t≠0)不是充分必要条件!δ(t)+δ′(t)亦满足狄拉克定义只是必要条件、是不严格的定义严格的定义可以由“分配函数”给出（参见§2.9）1⎡ττ⎤2)广义极限定义δ(t)=limU(t+)−U(t−)τ→0τ⎢⎣22⎥⎦是严格的,证明需用分配函数的概念狄拉克定义只能用作验证。4清华大学电子工程系陆建华第二章连续时间系统的时域分析§2.1引言时域分析方法：直接求解系统的微积分方程，物理概念清晰，便于全面理解，但需要涉及系统内部细节，如状态跳变等，比较繁琐，需

3、要特别小心，(工程训练所需)变换域分析：简便，方便研究新的信号处理技术和系统设计技术5清华大学电子工程系陆建华§2.1引言时域分析方法：经典法解微分方程(50年代前，对于高阶系统不方便)状态变量方法(上世纪60年代后，矩阵运算)卷积运算(重点)本章重点：①微分方程求解的一般方法(大部分为自习内容)②状态跳变(),冲激函数匹配法0→0−+③卷积及卷积的性质6清华大学电子工程系陆建华第二章连续时间系统的时域分析§2.2微分方程的建立与求解微分方程的建立：电路课已基本解决，需要注意两种约束：元件特性及拓扑结构微分方程的求解：设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，微分方程表示式为

4、nn−1dr(t)dr(t)dr(t)C+C+?+C+Cr(t)0n1n−1n−1ndtdtdtmm−1de(t)de(t)de(t)=E+E+?+E+Ee(t)0m1m−1m−1mdtdtdt7清华大学电子工程系陆建华§2.2微分方程的建立与求解经典解法：(三步曲)nn−1(1)齐次解：激励为0，特征方程C0α+C1α+?+Cnα+Cn=0α1tα2tαnt求根得α1,?,αnn个根，⇒A1e+A2e+?+Ane为齐次解(2)特解：由激励形式决定，查表，⇒B(t)Aeα1t+Aeα2t+?+Aeαnt+B(t)完全解：12n齐次(自由)特解(强迫)(3)定系数A1,?,An

5、，最关键的一步，也是最难的一步。需要根据实际电路及激励源确定一组边界条件，其难点在于确定这组边界条件。8清华大学电子工程系陆建华§2.2微分方程的建立与求解一般对于n阶微分方程(阶系统)，需nn个边界条件，如dr(0)n−1dr(0)在t=0时刻的状态，r(0)，，…，作为边界dtn−1dt条件。对完全解的一般表达式求导，将各式（边界条件）代入可得(有关推导参见P47)9清华大学电子工程系陆建华§2.2微分方程的建立与求解⎡r(0)−B(0)⎤⎢dr(0)dB(0)⎥⎡11?1⎤⎡A1⎤⎢−⎥⎢αα?α⎥⎢A⎥⎢dtdt⎥=⎢12n⎥⎢2⎥⎢@⎥⎢@@@@⎥⎢@⎥n−1n−1

6、⎢dr(0)dB(0)⎥⎢n−1n−1n−1⎥⎢A⎥−⎣α1α2?αn⎦⎣n⎦⎢⎣dtn−1dtn−1⎥⎦[(n)(n)]r(0)−B(0)范德蒙矩阵[V][A]−1(n)(n)范德蒙（Vandermonde）矩阵可逆⇒[]A=[V][r(0)−B(0)]上式中所得解限于t>0，t=0的状态是激励加入之后的零状态，或称0状态。在t=0时刻，由于激励的加入，会导致状态的跳变，+即0状态与0状态不一致。+−10清华大学电子工程系陆建华§2.2微分方程的建立与求解例：一阶RC高通电路，加入单位阶跃激励源r(0)=0−r(0)=1e(t)=v(t)v(t)=r(t)+12e(t)r(

7、t)从物理系统往往易求得0状态，0状态则不太容易−+求解，但时域分析回避不了这一难题(在第四章用拉氏变换则可以回避求0起始状态问题)。+11清华大学电子工程系陆建华第二章连续时间系统的时域分析§2.3起始点的跳变—从0−到0+状态的转换(k)r(0−)0状态：激励源接入之前，原始状态Original−(k)r(0+)0+状态：激励源接入之后，导出起始状态initial(1)借助元件特性判断求得0：+当没有冲激电流(或阶跃电压)作用于电容，则vc(0+)=vc(0−)当没有冲激电压(或阶跃电流)作用于电感