公钥密码体制与有限域(2)new

《公钥密码体制与有限域(2)new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2003年第5期　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　　　　　　　·1·公钥密码体制与有限域(2)X万哲先4.有限域Ê.4　对于任意x∈F,x≠0,F都有一-1-1有限域是1832年Galois引进的,Galois个元素,记作x,使得xx=1.为了探讨一元高次方程能否用四则运算和开Ë　对任意x,y,z∈F,都有x(y+z)=方求解,创造了著名的Galois理论,在这一xy+xz.(分配律)理论中他引进了群和域这两个概念,有限域性质É—Ë称为域的公理,É中4条公就是他作为域的例子而举出的.理是F中加法所需要满足的公理,Ê中4条为了介

2、绍有限域,先要介绍一下域.所谓公理是F中乘法所需要满足的公理,而Ë是域就是一些元素(譬如数)的集合,对这些元F中乘法对加法的分配律.设x,y是F中的素可以进行四则运算(当然作除法时要假定元素,根据É.4,F中有一个元素-y使y+除数不等于0)并满足通常的一些运算规则,(-y)=0,那么我们定义如加法和乘法的交换律、结合律以及乘法对x-y=x+(-y),加法的分配律等等.通常我们用一组公理来这样就在F中引进了减法,再设y≠0,根据-1-1定义域.Ê.4,F中有一个元素y使yy=1.那么定义　设F是一个集合,假定对于F中我们定义-1的任意两个元素x和

3、y都有两个元素分别x÷y=xy,记作x+y和xy和它们对应;我们说x+y这样就在F中引进了除法,于是F中就有了是x和y作加法运算得到的结果,称为x和四则运算:加,减,乘,除.y的和,xy是x和y作乘法运算得到的结我们知道,全体有理数的集合是一个域,果,称为x和y的积.我们还假定以下这些称为有理数域;全体实数的集合也是一个域性质成立.称为实数域,等等.但这些域都是无限域,即É.1　对任意x,y∈F,都有x+y=y+含无限多个元素的域.有限域是只含有限个x.(加法交换律)元素的域,最简单的有限域就是只含两个元É.2　对任意x,y,z∈F,都有(x+y

4、)素0和1的域,记作F2,它的运算由下面的+z=x+(y+z).(加法结合律)两个表来规定É.3F中有一个元素0,它有性质:对+01·　01F中任意元素x,有x+0=x.000000É.4　对于任意x∈F,F都有一个元110101素,记作-x使得x+(-x)=0.左面是加法表,右面是乘法表.这两个表Ê.1　对任意x,y∈F,都有xy=yx.的读法是:在加法表中,0所在的行与1所在(乘法交换律)的列相交处是1,就是说0+1=1,在乘法表Ê.2　对任意x,y,z∈F,都有(xy)z=中,0所在的行与1所在的列相交处是0,就x(yz).(乘法结合律)是

5、说0·1=0.这样我们就得到了0,1两个Ê.3F中有一个元素1,它有性质:1数作加法和乘法的规定:≠0,对F中任意元素x≠0,有x1=x.0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0,X万哲先先生是我国著名数学家,中国科学院院士,苏州大学数学研究所所长.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.·2　　　　　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　·2003年第5期0·0=0,0·1=0,1·0=0,1·1=1.限域来构作一个公钥密码体制.值得注意的是

6、除了1+1=0这个规定以假定q是一个素数p的n次幂,即q=n外,其余的规定和把0和1看成是有理数时p,假定我们要传送的明文集是Fq中的非零的规定一样.实际上,F2中元素作加法的运元素组成的集合.对于每个通信者X,选定一算规定我们在第1节里已经遇到,在那里我个整数eX,0

7、除它,得到商q,余数r,0≤r

8、,3)X将密文C发送给Y;这样一来Fp就是一个有限域.4)Y收到C以后,就用只有他自己知道例如F3的加法表和乘法表分别是的他的解密密钥d