线性代数总复习.ppt

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1、线性代数总复习内容总结行列式矩阵向量空间线性方程组矩阵相似对角化二次型行列式知识要点：行列式定义行列式性质行列式展开行列式计算（重点掌握）“Crammer”法则行列式定义：一、n级排列（逆序数、奇偶性）二、n阶行列式的定义特别注意行列式各项的特征项的一般形式行列式的性质换行（换列）反号倍乘增倍性倍加不变性转置不变性分拆原则，相加原则行列式的展开掌握：1、选取零元素较多的行（列）展开；2、将消元和展开结合起来，迅速降阶.行列式的计算（重点）常用方法：三角化法展开降阶法（和消元相结合最为有效）加边法归纳法化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）Cr

2、ammer法则方程的个数＝未知数个数若系数行列式不等于零，则方程组有唯一解特别注意方程组为齐次的情况本章所需掌握的题型：行列式计算（重点）1、具体阶数行列式计算2、较简单的n阶行列式计算与行列式定义、性质有关的问题需利用行列式进行判定的问题如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况2、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数＝向量维数）4、两个矩阵相似的必要条件5、矩阵正定、半正定的必要条件矩阵知识要点：矩阵的基本定义和相关概念矩阵的关系、运算和变换分块矩阵可逆矩阵初等矩阵和初等变换，逆矩阵的求法矩阵的基本定义和相关概念矩阵的形状，行数，列数，方阵；常见的特殊矩阵：行、列矩阵，零

3、矩阵（非零矩阵），三角阵，对角阵，单位阵，数量阵，对称阵，反对称阵、正交阵等；方阵的行列式矩阵的关系、运算和变换矩阵的运算：1.加法、减法、乘法、除法（乘于逆矩阵），乘方（只适用于方阵）特别注意矩阵运算中的反常情况（交换律、消去律、和数运算的区别与联系）.2.矩阵的求逆运算.矩阵的关系1.同型、相等、互逆；2.等价关系、相似关系、合同关系（重点研究）矩阵的分块处理1.分块的合理性要求，保证运算可行；2.分块运算原则：“子块视如元素”3.一些特殊的分块矩阵（行（列）向量组、准对角阵（其逆矩阵）、阶梯型矩阵）矩阵的变换：1.初等变换（最为重要，与初等矩阵乘积的关系）；2.等价变换；3.

4、相似变换；4.合同变换掌握要点：变换过程中的性质和规律变换的最终目标变换的具体用途可逆矩阵伴随矩阵的定义及特性逆矩阵的求法：1.二阶矩阵用伴随矩阵法；2.三阶以上一般用初等变换法.证明矩阵可逆的常用思路：1.利用定义构造矩阵B，使得AB＝E；2.证明矩阵的行列式不等于零；3.证明方阵满秩；4.证明矩阵和另外的可逆阵等价、相似或合同，或由可逆阵的乘积构成.本章所需掌握的题型：矩阵的基本运算及运算性质较为简单的分快矩阵运算和求逆（准对角阵）伴随矩阵、可逆矩阵1、与伴随矩阵性质相关的问题2、矩阵可逆性的证明3、逆矩阵的求法（初等变换法），求简单的矩阵方程4、初等矩阵的运算性质、初等矩阵的逆

5、矩阵5、等价矩阵的性质向量空间知识要点：向量的基本定义和相关概念、向量空间向量的线性关系（1）一个向量和向量组的关系；（2）向量组内部的关系；（3）向量组与向量组的关系.向量组的秩、矩阵的秩向量的内积、正交化正交矩阵重点要求的几项技能：判定或证明向量组的线性相关性（行列式，秩，利用性质）求向量组的秩、矩阵秩、极大线性无关组及线性表示向量组正交性判定，向量组的正交化、单位化综合运用“第一第二等价链”处理有关问题线性表示（单个向量和向量组的关系）有解判定方程组特别当表出向量组的“向量个数＝向量维数”时，则有：系数矩阵、增广矩阵秩综合在对增广矩阵的初等行变换化阶梯中向量组的线性相关性（

6、向量组内部的关系）判定相关性：1、利用定义，特别注重线性无关判定的逻辑过程；2、利用判定方程组（齐次线性方程组）,特别注重一些特殊情形下的判定；3、利用一些相关性质.几个重要关系：1、线性相关和线性表示的关系；2、线性相关、线性表示、极大线性无关组和向量组秩的关系.3、线性表出（或等价）和向量组“大小”或“秩”的关系.4、向量组秩和矩阵秩的关系.5、方阵秩、行列式、可逆性、行（列）向量组相关性、线性方程组（齐次、非齐次）的解况.即（第一等价链和第二等价链）.有非零解判定方程线性相关性的判别特别当向量组的“向量个数＝向量维数”时，则有：当向量维数<向量个数”时，则有向量组必线

7、性相关.与向量组线性相关性相关的结论定理：向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可以被其余向量线性表出.定理：向量组线性无关的充要条件是任何一个向量均不能被其余向量线性表出.“短”向量组无关必有“长”向量组无关“长”向量组相关必有“短”向量组相关向量组“部分相关”必有“整体相关”向量组“整体无关”必有“部分无关”“大”向量组被“小”向量组表出，“大”向量组线性相关.“线性无关”的向量组只可能被“不小于”它的向量组线性表出.任何向量组只可能被“秩不小于它的