分数阶系统的混沌特性及其控制

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1、万方数据第32g笫,2期J。umal。fs。uthwestU西ni南ve民rsi族ty大for学N学at报ion‘al自iti然es科-N学atu版ralscienceEditi。nMaL2006文章编号：1003—2843(2006)02—0290—05分数阶系统的混沌特性及其控制高心，周红鸥(西南民族大学电气信息学院，四川成都，610041)摘要：本文首先了介绍了分数微分的基本定义及其逼近方法，并对一个新的分数阶系统的混沌特性进行了研究。仿真结果表明，该分数阶系统出现混沌的最低阶数是2．4阶。最后，基于逆优化控制技术设计的简单线性反馈控制器对该分数阶系统的混

2、沌行为进行了有效的控制。关键词：分数微分；混沌；控制；分数阶系统主题分类号：0177．92，0221文献标识码：A1引言分数微分已有300多年的历史，但分数微分在物理学和工程中的应用却只有几十年．据文献报道许多系统能展现分数阶动力学行为，如粘滞系统【l】、电介质极化【2】、有色噪声【3】和电磁波【4j等．近年来，将分数微分算子(fractionalcalculus)引入到非线性动力学系统中，并对分数阶动力学系统的混沌进行了研究．例如：分数阶蔡氏电路在2．7阶可产生混沌151；非自治Duffing系统的阶数低于2阶能产生混沌[61：分数阶Ri；ssler方程可在2

3、．4阶产生混沌17J等等．这些研究为混沌保密通信的应用研究提供了丰富的源泉．混沌控制是混沌研究领域的重点．自从Ott等人【8J的开拓性工作以来，混沌控制就一直处于研究热潮之中．然而，对分数阶混沌系统的控制19-10】的研究却相对较少．本文针对一个新的分数阶系统进行了混沌仿真分析，该分数阶系统出现混沌的最低阶数是2．4阶．本文基于逆优化控制算法控制该分数阶系统的混沌行为，所设计的简单线性反馈控制器的作用是将状态变量的输出轨迹控制到其平衡点，数值研究证明了该方法的可行性和有效性．2分数微分算子及其逼近分数微分的基本定义是基于Grunwald—Letnikov(GL)

4、定义和Riemann--Liouviller(RL)定SL[¨1，其定义为垡：』型：!旦二}加9厂(九一q)dt”0／(f)(，一f)””这里，”一1≤q≤疗，r(．)是gamma函数．设初始条件为0，则Riemann--Liouviller的Laplace变换为￡f等弘卜叫巾))．@’因此，阶数为g的分数积分算子可在频域内由传递函数F(J)=1／s，描述．以上分数微积分的标准定义不能直接在时域仿真中作分数阶算子的运算．为了有效地分析分数阶系统的混沌，需用标准整数阶算子来逼近分数阶算子，当然这种逼近是在允许的误差范围内，完全可满足工程的需要．本文将采用文献【12

5、】提供的逼近方法，利刚文献‘91表1给出的吉(g2o．1～o．9，步长o．1，逼近误差2dB)的逼近公式，进收稿日期：2005．02．16作者简介：i每心(1963．)，男，博二f：，西南民族大学电气信息学院教授基金项目：国家民委重点科研项目(批准号：05XN07)资助的课题．万方数据第2期高心，周红鸥：分数阶系统的混沌特性及其控制291行我们的数值仿真分析．3分数阶混沌系统模型所研究的系统是一个三阶自治微分方程．将分数微分算子替换系统中的标准微分，则系统变为1da厂x=口(y—x)，坐：缸一施．(3)dt’丝：一c=+触2．dt这里，口，∥，Y是分数阶，a，b

6、，C，k和h是可变参数．当口=∥=Y=l时，方程(3)变等效为原系统，且a，b，c，k和h·分别为10，40，l，2．5，和4时，最大Lyapunov指数计算为1．326026，原系统出现混沌，系统的初始值选为(2．2，2．4，38)．相平面轨迹如图1所示．从图可见，该系统的混沌奇怪吸引子与Lorenz系统的不一样的．．图1．原(整数阶)系统X-Z、x-y的相轨迹(a=10，b=40，k=1，c=2．5，h=4)当q=0．9，0．8时，系统(3)出现混沌吸引子，相平面轨迹如图2所示．从图可见，分数阶系统的混沌吸引子类似于整数阶系统的混沌吸引子．当q=0．7时，没

7、有发现混沌．这表明，该系统产生混沌的分数阶的最低限制是q=0．7—0．8，因此我们得到了产生混沌的系统最低阶数是2．4阶．利用功率谱分析方法，验证了我们的结果，如图3所示．图2．a)分数阶系统x-z相轨迹g=0．9∞=8，b=40，七=l，c=2．5，h=4)b)分数阶系统X-Z相轨迹920．8∞=4，b=50，k=l，c=2．5，h=4)万方数据292西南民族大学学报·自然科学版第32卷ILJki瀵刖．L“-“Jm▲山_L“山^．“iIdl_PI。啊●1：：娜_l哪⋯F嗍If胛聊忡O．3O●O．5●。3。2。1。詈。．'。．2。．3。．●。I』～4k：H．堋I

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