有限域的教学设计new

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1、有限域的教学设计有限域是具有良好代数性质和密码学性质的一类代数结构。最近几十年，随着密码学的发展，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用。例如，有限域计算和算法分析对密码算法的效率有重要的影响。有限域最早在密码学中的应用事用来构造具有良好性质的序列密码。现代分组密码算法中也常用有限域上的置换来构造其核心部件，如AES算法中的S盒就是利用GF（256）线性变换与逆元变换的组合来构造的。有限域在公钥密码算法中应用尤其广泛，如椭圆曲线密码算法中安全曲线的选取通常是在有限域上选取素数阶椭圆曲

2、线。一些新的公钥密码体制如NTRU公钥密码体制就是建立在有限域上的多项式环上；多变量公钥密码体制的安全性基石即求解有限域上的多变量非线性方程组是NP困难的。有限域对于信息安全专业本科生来说比较陌生，而且前期的抽象代数的基础较弱，对于有限域的结构、性质以及计算机快速实现理解起来有一定的难度。本知识点的重点和难点在于素域的构造、域的特征以及一般有限域的构造。课程组经过几年的教学探索，总结出如下的教学思路：介绍群、环的定义，并以模n的剩余类Z为例进行讲解，然后引入域的定义，再分析对于一般的整n数n，Z与域的

3、定义之间的差距，从而引导学生如何添加一些条件，使得Z成nn为一个域，最后引入多项式环的定义，构造一个一般的有限域。1、抽象代数基本概念定义1一个非空集合G对于G上的一个二元运算来说做成一个群，如果对于任意abcG,,有：（1）满足结合律，即a(bc)(ab)c；（2）有单位元eG，使得aeea；111（3）每一个元素均有逆元，即存在aG，使得aaaae。若运算还满足交换律，即abba，则称群G为交换群。定义2一个非空集合R称为一个环，如果R有一个加法“+

4、”和一个乘法“”满足：（1）R是一个加法交换群；（2）乘法运算“”满足结合律；（3）加法和乘法满足分配律，即abc,,R，有abc()abac，()bcabaca。要注意的是，R对于乘法运算并不构成群。例1考察集合Z是否为群或环。nZ中定义了模n加法和乘法运算。对于加法，很显然Z是加法交换群。对nn于乘法和加法，Z显然满足环的定义，而且Z存在单位元1，乘法满足交换律，nn因此Z是一个有单位元的交换环。n2、域和有限域的构造定义3对于一个有单位元的交换环F，如果F中所有的非零元均有逆

5、元，则称F为域，如果F中的元素个数有限，则称F为有限域。再来分析集合Z。主要考察Z中的非零元可逆的条件。nnab,Z，若ab1modn，则存在整数k，使得abkn1；也可以等价n记为存在整数k，使得abkn1。回忆整数的性质：若整数a，b互素，则存在整数k1,k2使得kakb1。12因此，可以得出以下结论：若整数a和n互素，则整数a在Z中存在逆元，若整数b和k，满足nabkn1，则bnmod即为整数a在Z中的逆元。n如果Z是域，则Z中所有的非零元均与n互素，因此n为素数。nn定理

6、1设p为任意一个素数，则Z是一个有限域。p注意到在Z中，aZ，均有pa0modp。pp3、Z上扩域的构造p定义4设x是一个未定元，记集合nRx[]{aaxaxaa

7、,,,aRnZ,}01nn01在Rx[]中规定运算如下：nnn(aaxax)(bbxbx)(ab)(abx)(abx);01n01n0011nnnmn(a0ax1axn)(b0bx1bxm)c0cx1cxn,其中ckabij.ijk则Rx[]构成一

8、个环，称之为R上的关于x的多项式环，称Rx[]中的元素为R上的关于x的多项式．在上述定义中，令RZ，整数理论中的整除、互素等性质可以完全移植到多项式环p中。与整数中素数相对应的一个概念是不可约多项式。在多项式环上，同样可以构造模多项式fx()的剩余类集合，这个集合对于模多项式的运算构成有单位元的交换环。若fx()是n不可约多项式，其相对应的剩余类环就构成一个有限域，其个数为p，其中n是fx()的次数。后续的课程将继续介绍有限域的特征、多项式基和正规基等概念，这些概念也是完全依托于线性代数的知识。学生

9、在学习本知识点的过程中，并未接触到更深层次的抽象代数理论，很容易根据上述教学思路掌握有关有限域的基础知识。