椭球不确定集下具有消费的投资组合鲁棒优化模型

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1、第IJ卷第!期数学理论与应用’56EIJP5E!I##J年"I月8K=LM8K=F&KN=LMG)OKPQKHHNF&K=FGP2Q,3EI##J!椭球不确定集下具有消费的投资组合鲁棒优化模型武伟伟王茜（中南大学数学科学与计算技术学院，长沙，!"##$%）摘要针对含有不确定参数的优化问题，鲁棒优化作为一种有效的优化手段引起了人们的普遍关注。本文主要介绍了&’()风险投资组合模型，并在模型中加入消费，将椭球不确定集下鲁棒优化应用到该模型中，这不仅解决了该模型由于参数的不确定性所造成的缺陷，而且也比较符合实际情况。关键词&’()鲁棒优化消费过程二阶锥规划

2、!"#$%&’"(&)"*+",-*-.&+"/0+&1&1-2"/%$34&+"/5/6-(7**+4%"+68*5/.-(&8+/&9*+*,-.,-*(/01-(/（234556578(94,:(9-3(623-,/3,(/;&5:<+9-/0=,34/5650>，&2?，&4(/0@4(，!"##$%）:#%&(8.&)5A+@95<9-:-B(9-5/，5/,5794,:5@9<5<+6(C95<-3@-/94,7-,6;575<9-:-B(9-5/，;,(6@.-94(/5<9-:-B(9-5/

3、(-/<(C(:,9,C@EF/94-@<(<,C，.,@45.&’()<5C9756-55<9-:-B(9-5/@,6,39-5/+/;,C94,35/@+:<9-5/(/;(<<6>94,C5A+@9:,945;95@56D,94,:5;,6E=4-@-@/595/6>95;,(6.-9494,

4、化模型<=方法描述首先给出!"#$定义。设（%&，’）为决策向量&下的损失函数，其中向量&看成是组合中各资产的头寸，&"(，(为满足各种约束的有效投资组合的集合。向量’表示对损失有影响的不确定因素，如市场价格或收益率。假设随机向量’的联合密度函数)（’），则对于每个&而言，损失（%&，’）不超过!的概率!张鸿雁教授推荐收稿日期：I##J年R月""日椭球不确定集下具有消费的投资组合鲁棒优化模型#"#为!（!，"）!ò$（#）%#（"!，#）!"那么，对于固定的!，在置信水平（（"，#））下，&’(和)&’(分别表示为##"&’(#（!）!$%&｛""#

5、’!（!，"）##｝（#(#）和)#)&’(#（!）!（#)#）ò（"!，#）$（#）%#（#(*）（"!，#）#&’(（!）#由（#+#）知&’(（!）为满足!（!，"）!的最小点。##（#+*）中，)&’(（!）就是投资组合!在损失大于)&’(（!）的条件下的期望损失。##定义函数#,*#（!，"）!",#)#ò+［（"!，#）)"］$（#）%##"(,其中［,］!$-.｛,，"｝，并且有下面的两定理成立。定理!"!作为"的函数，*（!，"）是凸的且连续可微的，对任何!"-下损失的##))&’(可表示为)&’(（!）!$%&*（!，"）（#(/）

6、##""(定理!"#在所有的!"-中最小化等同于在所有的（!，"）"-0(中最小化#))&’(*（!，"），即#$%&)&’(（!）!$%&*（!，"）!"-#（!，"）"-0(#假设未来可能出现+种情况，如可取过去历史上.中资产的+个交易日的收益率，每种情况下#的可取值为#（0!#，⋯，+），则函数*（!，"）可用下式表示，+个数据为#，⋯，#，/##+在［/］中函数*（!，"）被表示为：##+$*,（!，"）!",%［（"!，#/）)"］#+（#)#）/!##"模型的建立""假设有.种不同的金融工具组成的投资组合，其中包括一无风险资产，记!!（!

7、#，⋯，"11!.）是优化前的.种资产持有量，!!（!#，⋯，!.）是优化后的.种资产持有量，设2!."%43!3，其中4!（4#，⋯，4.）是.种资产的当前价格。设)为用于消费的资产额，且假设消费3!#."1的资产与总资产成正比例，即)!0%43!3，0"（"，#），5!（5#，⋯，5.）表示资产的期望收益。3!#考虑在期望收益率大于的情况下，极小化含消费的)&’(的投资组合模型$+$%&)&’(#（!）!$%&$*#（!，"）!$%&",6%7/!，"!，"!，"/!#8,7/#（"!，#3）)"/!#，⋯，+7/#"/!#，⋯，+"%>数学理论

8、与应用!!#"$""!""!（"#$）%!!!%%!&"$"!!&"$"&’!&"$""!""!""!"$"