武汉大学2003数学分析

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1、武汉大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答考试科目：数学分析科目代码：359一、判断下列命题是否正确（共5小题，每小题6分，共30分）：1）单调序列{}a中有一子列{}a收敛，则序列{}a收敛。nnin正确。不妨设{}a收敛于a，利用单调性那么不难证明{}a也收敛于anin2）子列{}a的子序列{}a和{}a收敛，则序列{}a也收敛n2n21n+n不正确。只要{}a和{}a收敛于不同的极限，A、B那么{}a不收敛2n21n+n3）序列{}a收敛，则序列{}a收敛，其命题也成立nnn不正确。序列{}a收敛=〉序列{}a收敛，

2、但反之命题不成立如{aa}:=-(1)nnnn14）åan收敛，则aon=().nn(-1)不正确。可以找到莱布尼兹级数{aa}:=nnn5）函数序列{ux()}，xÎ[,]ab，满足对任意的自然数p和任意xÎ[,]ab，有n以下性质：limu(x)-=ux()0，则{ux()}一致收敛。nnp+nn®¥n不正确。不妨设xÎ[0,1]，{u(x)}:u()xx=，nnpnlimu(x)-u(x)=lim(1)0-=xx。显然{ux()}并非一致收敛。nnp+nnn®¥®¥二、计算题（每小题8分，共32分）x1）设F(x)=òtln,

3、tdtF求'(0)-1xF(x)=òtlntdtÞ=F'(x)xxln-1lnxx-ln（应用L’Hospital法则）F'(0)=limxxln=lim==lim0x®00xx®1®¥xxxxex-+ln(1)2）求极限：lim2x®¥x2x2xx(1+x+o(x))--+(xox())xex-+ln(1)2lim=lim22xx®¥xx®¥（应用Taylor展开）222xx++ox()23==lim2x®¥x23）2222222计算积分：òòò(xy++z),dV其中V是球面xyza++=和圆V22锥面z=+xy之间的部分222

4、22222òòò(xy++=z)dVòòò(xy++=z)dxdydzòòòrrsinqdrddqjVVVpp522pp44aa442a==òò00ò0rsinjdrdjdqò0dqòò00sinjdjprdr=-2g(1)255(2-2)pa=53332224）计算曲面积分I=òòxdydz++ydzdxzdxdy，S为球面xyz++=1的S外侧333222I=òòxdydz++ydzdxzdxdy=òòò(33xy++=3)zdxdydzSV4412pp12pòòò3rsinjdrdjdq==ò03rdròò00sinjddjq

5、5V三、判断级数与反常积分的敛散性（共4小题，每小题9分，共36分）2+¥sinx+¥sinx1）òdx2）òdx1x11x+x22+¥sinxx+¥1-cos2+¥sinxx+¥1-cos2òòdx=dxòòdx=dx11xx211xx2ppsin2()x-sin2()x-+¥1+¥4p+¥1+¥4p=òòdx+-dx()=òòdx+-dx()1124xpp1124xpp2()x-+2()x-+4242+¥1+¥sin2x+¥1+¥sin2x=+òòdxpdx。发散=+òòdxpdx。发散112x-4p112x-4p2x+2x+2

6、2n(-1)13）å4）ålnnnn5(ln)n11åålnn=lnlnnnln(lnne)()n(-1)1®1，从而知发散=ån5nlnlnnn11当n足够大时<。收敛lnlnnnn22ìïx+=y2az四、设a>0,求曲线í上的点到xy-平面的最大最小距离222ïîxy++=xya解1：22222Lagrange乘子法：A=z+lm(x+y-+2az)()xy++-xya¶üAü=++=2(mlm)0xyïï¶xï22ýÞ(ml+)(xy-=)0ï¶Aï=+2(mlm)0yx+=ï¶yïþïïì(a,)-aa取到最大值¶Aïï=

7、1-=20alýíÞ=(xy,)33a¶zïï(,)aa取到最小值î333¶Aï22=+xy-=20azï¶lï¶A222ï=++-=xyxya0ï¶mþ解2：（初等数学的不等式方法）当z取到最值，即xy取到最值221)xy³0时,x+³y2,xy22222322xya+axy=++xy£()x+yzÞ=³223a222)xy³0时,x+y³-2,xy22222122xy+axy=++xy³()x+yÞza=³22a2ccan五、设0

8、1证明：归纳法，假设ac£11+-n2cana=+n+1222a-+2acnna-a=<0Þac£11++n++11nn2又a>0。所以有界单调数列必然存在极限。nìï1+1-c，ac=11+-1解得极限=íïî1-1-c，ac<11